Please choose your option, either Assamese medium or English medium
Please choose your option, either Assamese medium or English medium
শতাংশ (Percentage), গড়, ৰেহাই (Discount), লাভ আৰু লোকচান।
শতাংশ (Percentage), গড়, ৰেহাই (Discount), লাভ আৰু লোকচান।
১. অতি চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Very Short Questions & Answers - 1 Mark Each)
প্ৰশ্ন ১: ভগ্নাংশ 3/5 ক শতাংশলৈ ৰূপান্তৰ কৰিলে ইয়াৰ মান কিমান হ'ব?
উত্তৰ: (3/5) × 100% = 60%।
প্ৰশ্ন ২: ৫ টা সংখ্যাৰ যোগফল ১৫০ হ'লে সিহঁতৰ গড় কিমান?
উত্তৰ: গড় = ১৫০ / ৫ = ৩০।
প্ৰশ্ন ৩: ৰেহাই (Discount) সদায় বস্তুৰ কোনটো মূল্যৰ ওপৰত গণনা কৰা হয়?
উত্তৰ: লিখিত মূল্য বা ধাৰ্য্য মূল্যৰ (Marked Price) ওপৰত।
প্ৰশ্ন ৪: ক্ৰয় মূল্য ৫০০ টকা আৰু বিক্ৰী মূল্য ৫৫০ টকা হ'লে লাভৰ শতাংশ কিমান?
উত্তৰ: লাভ = ৫০ টকা; লাভৰ শতাংশ = (৫০/৫০০) × ১০০% = ১০%।
প্ৰশ্ন ৫: গতি (Speed), দূৰত্ব (Distance) আৰু সময়ৰ (Time) সম্পৰ্কটো কি?
উত্তৰ: গতি = দূৰত্ব / সময় (Speed = Distance / Time)।
প্ৰশ্ন ৬: যদি এজন মানুহে এটা কাম ১০ দিনত কৰিব পাৰে, তেন্তে ১ দিনত তেওঁ কামটোৰ কিমান অংশ কৰিব?
উত্তৰ: ১/১০ অংশ।
প্ৰশ্ন ৭: ঘড়ীৰ মিনিটৰ কাটাডালে ১ মিনিটত কিমান ডিগ্ৰী কোণ অতিক্ৰম কৰে?
উত্তৰ: ৬° (৩৬০° / ৬০ মিনিট)।
প্ৰশ্ন ৮: এটা সাধাৰণ বছৰত (Non-leap year) অতিৰিক্ত দিন (Odd Days) কিমানটা থাকে?
উত্তৰ: ১ টা দিন (৩৬৫ ÷ ৭ = ৫২ সপ্তাহ আৰু ১ অতিৰিক্ত দিন)।
প্ৰশ্ন ৯: অংশীদাৰিত্বৰ ব্যৱসায়ত লাভৰ বণ্টন কিহৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে?
উত্তৰ: বিনিয়োগ কৰা মূলধন আৰু সময়ৰ গুণফলৰ অনুপাতৰ ওপৰত।
প্ৰশ্ন ১০: সৰল সুত নিৰূপণৰ মূল সূত্ৰ SI কি?
উত্তৰ: SI = (P × R × T) / 100।
প্ৰশ্ন ১১: বাৰ্ষিকী (Annuity) বুলিলে কি বুজায়?
উত্তৰ: নিৰ্দ্বিষ্ট সময়ৰ ব্যৱধানত ধাৰাবাহিকভাৱে পৰিশোধ বা গ্ৰহণ কৰা সম-পৰিমাণৰ ধনৰ কিস্তিক বাৰ্ষিকী বোলে।
প্ৰশ্ন ১২: যদি এটা পাইপে চৌবাচ্চা এটা ৪ ঘণ্টাত পূৰ কৰে, ১ ঘণ্টাত কিমান অংশ পূৰ হ'ব?
উত্তৰ: ১/৪ অংশ।
প্ৰশ্ন ১৩: নাও এখনৰ স্থিত পানীত বেগ u আৰু সোঁতৰ বেগ v হ'লে সোঁতৰ অনুকূলে (Downstream) বেগ কিমান?
উত্তৰ: (u + v)।
প্ৰশ্ন ১৪: ১ কিমি/ঘণ্টাক মিটাৰ/ছেকেণ্ডালৈ ৰূপান্তৰ কৰিবলৈ কিহেৰে পূৰণ কৰিব লাগে?
উত্তৰ: ৫/১৮ ৰে (5/18)।
প্ৰশ্ন ১৫: দৌৰ খেলত "Dead Heat" বুলিলে কি বুজায়?
উত্তৰ: যেতিয়া প্ৰতিযোগীসকলে একে সময়তে শেষ ৰেখা স্পৰ্শ কৰে আৰু খেলখন অমীমাংসিতভাৱে সমাপ্ত হয়।
২. চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Short Answer Questions - 2 Marks Each)
প্ৰশ্ন ১: বস্তু একটাৰ দাম ২০% বৃদ্ধি পাই পাছত ২০% হ্ৰাস পালে, সামগ্ৰিকভাৱে মূল্যৰ কি পৰিৱৰ্তন হ'ব?
উত্তৰ: যদি কোনো মূল্য x% বৃদ্ধি পাই পাছত x% হ্ৰাস পায়, তেন্তে সদায় হ্ৰাস হয় = (x2/100) percent। ইয়াত x = 20, গতিকে হ্ৰাস = (202/100)% = (400/100)% = 4%। অৰ্থাৎ বস্তুটাৰ মূল্য ৪% হ্ৰাস পাব।
প্ৰশ্ন ২: ১০ টা সংখ্যাৰ গড় ২৫। প্ৰতিটো সংখ্যাৰ সৈতে ৫ যোগ কৰিলে নতুন গড় কিমান হ'ব?
উত্তৰ: গড়ৰ নিয়ম অনুসৰি, যদি প্ৰতিটো মান বা রাশিৰ সৈতে এটা ধ্ৰুৱক সংখ্যা k যোগ কৰা হয়, তেন্তে পুৰণি গড়ৰ সৈতেও k যোগ হয়। গতিকে ইয়াত নতুন গড় হ'ব = পুৰণি গড় + ৫ = ২৫ + ৫ = ৩০।
প্ৰশ্ন ৩: ক্ৰমৱৰ্তী ৰেহাই (Successive Discounts) ১০% আৰু ২০% ৰ সমান এক একক ৰেহাই কিমান?
উত্তৰ: এক একক ৰেহাই = [d1 + d2 - (d1 × d2 / 100)]%। ইয়াত d1 = 10, d2 = 20। গতিকে এক একক ৰেহাই = [10 + 20 - (10 × 20 / 100)]% = [30 - 2]% = 28%।
প্ৰশ্ন ৪: পিতা আৰু পুত্ৰৰ বৰ্তমান বয়সৰ অনুপাত ৪:১। ৫ বছৰ পাছত সিহঁতৰ বয়সৰ যোগফল ৬০ বছৰ হ'লে পুত্ৰৰ বৰ্তমান বয়স কিমান?
উত্তৰ: ধৰা হ'ল পিতাৰ বয়স 4x আৰু পুত্ৰৰ বয়স 1x। ৫ বছৰ পাছত পিতাৰ বয়স (4x + 5) আৰু পুত্ৰৰ (x + 5)। প্ৰশ্নমতে, (4x + 5) + (x + 5) = 60 ⇒ 5x + 10 = 60 ⇒ 5x = 50 ⇒ x = 10। গতিকে পুত্ৰৰ বৰ্তমান বয়স ১০ বছৰ।
প্ৰশ্ন ৫: এজন মানুহে ৬০ কিমি/ঘণ্টা বেগেৰে গৈ ১২০ কিমি পথ অতিক্ৰম কৰে। তেওঁৰ লগা সময় উলিওৱা।
উত্তৰ: সময় = দূৰত্ব / গতি। ইয়াত দূৰত্ব = ১২০ কিমি, গতি = ৬০ কিমি/ঘণ্টা। গতিকে লগা সময় = ১২০ / ৬০ = ২ ঘণ্টা।
প্ৰশ্ন ৬: A আৰু B য়ে এটা কাম ক্ৰমে ১২ দিন আৰু ২৪ দিনত সম্পূৰ্ণ কৰিব পাৰে। দুয়ো একেলগে কৰিলে কামটো কিমান দিনত শেষ হ'ব?
উত্তৰ: ১ দিনত A ৰ কাম = ১/১২, B ৰ কাম = ১/২৪। দুয়োৰে ১ দিনৰ কাম = (১/১২ + ১/২৪) = ৩/২৪ = ১/৮ অংশ। গতিকে দুয়ো একেলগে কামটো ৮ দিনত সম্পূৰ্ণ কৰিব।
প্ৰশ্ন ৭: ৪:৩০ बजाত ঘড়ীৰ ঘণ্টা আৰু মিনিটৰ কাটাৰ মাজৰ কোণ কিমান?
উত্তৰ: সূত্ৰ: Angle = |30H - (11/2)M|। ইয়াত H = 4, M = 30। Angle = |30(4) - (11/2)(30)| = |120 - 165| = |-45| = 45°। গতিকে কোণ ৪৫°।
প্ৰশ্ন ৮: লিপ ইয়াৰ (Leap Year) কি আৰু ইয়াত কিমানটা অতিৰিক্ত দিন (Odd Days) থাকে?
উত্তৰ: যিবোৰ বছৰ ৪ ৰে (আৰু শতিকা হ'লে ৪০০ ৰে) বিভাজ্য হয়, তাক লিপ ইয়াৰ বোলে। লিপ ইয়াৰত ৩৬৬ টা দিন থাকে। ৩৬৬ ÷ ৭ = ৫২ সপ্তাহ আৰু ২ দিন। গতিকে ইয়াত ২ টা অতিৰিক্ত দিন থাকে।
প্ৰশ্ন ৯: সমানুপাতৰ চৰ্ত ($a:b = c:d$) ব্যাখা কৰা।
উত্তৰ: দুটা অনুপাত সমান হ'লে তাক সমানুপাত বোলে। অৰ্থাৎ a/b = c/d। ইয়াত আটাইতকৈ গুৰুত্বপূৰ্ণ নিয়মটো হ'ল: প্ৰান্তীয় পদদ্বয়ৰ গুণফল = মধ্যম পদদ্বয়ৰ গুণফল (Product of extremes = Product of means), অৰ্থাৎ ad = bc।
প্ৰশ্ন ১০: ফলপ্ৰসূ সুতৰ হার (Effective Rate of Interest) বুলিলে কি বুজা?
উত্তৰ: যেতিয়া বছৰত একাধিকবাৰ (যেনে ষাণ্মাসিক বা ত্ৰৈমাসিক) চক্রবৃদ্ধি সুত গণনা কৰা হয়, তেতিয়া পাওঁ পোৱা আচল বার্ষিক সুতৰ হাৰ নামমাত্ৰ হাৰতকৈ অধিক হয়। এই প্ৰকৃত বার্ষিক সুতৰ হাৰকে ফলপ্ৰসূ সুতৰ হাৰ (reff) বোলা হয়।
প্ৰশ্ন ১১: বৰ্তমান মূল্য (Present Value) আৰু ভৱিষ্যত মূল্যৰ (Future Value) পাৰ্থক্য লিখা।
উত্তৰ: ভৱিষ্যতে প্ৰাপ্য কোনো ধনৰ পৰিমাণৰ আজিৰ দিনত সুতৰ হাৰ বাদ দি গণনা কৰা মূল্যই হ'ল বৰ্তমান মূল্য (PV)। আনহাতে, বৰ্তমানৰ কোনো মূলধন নিৰ্দ্বিষ্ট সময় পাছত সুতে-মূলে বৃদ্ধি পাই যি পৰিমাণ হয়, তাক ভৱিষ্যত মূল্য (FV) বোলে।
প্ৰশ্ন ১২: সংমিশ্ৰণ নিয়ম (Alligation Rule) ৰ গাণিতিক সূত্ৰটো কি?
উত্তৰ: যেতিয়া দুটা ভিন্ন মূল্যৰ (সস্তা c আৰু দামী d) বস্তু মিহলাই মধ্যম মূল্য m ৰ সংমিশ্ৰণ তৈয়াৰ কৰা হয়, তেতিয়া সিহঁতৰ পৰিমাণৰ অনুপাত হ'ব: (সস্তা বস্তুৰ পৰিমাণ / দামী বস্তুৰ পৰিমাণ) = (d - m) / (m - c)।
প্ৰশ্ন ১৩: নাও এখনৰ সোঁতৰ অনুকূলে বেগ ১৫ কিমি/ঘণ্টা আৰু সোঁতৰ প্ৰতিকূলে বেগ ৯ কিমি/ঘণ্টা হ'লে স্থিত পানীত নাওখনৰ বেগ কিমান?
উত্তৰ: স্থিত পানীত নাওখনৰ বেগ = ১/২ × (অনুকূলে বেগ + প্ৰতিকূলে বেগ) = ১/২ × (১৫ + ৯) = ১/২ × ২৪ = ১২ কিমি/ঘণ্টা।
প্ৰশ্ন ১৪: পাইপ A ই ১০ ঘণ্টাত চৌবাচ্চা পূৰ কৰে আৰু পাইপ B ই ১৫ ঘণ্টাত খালি কৰে। দুয়ো একেলগে খুলিলে চৌবাচ্চা কিমান সময়ত সম্পূৰ্ণ পূৰ হ'ব?
উত্তৰ: ১ ঘণ্টাত কাম = (১/১০ - ১/১৫) = (৩ - ২)/৩০ = ১/৩০ অংশ। গতিকে চৌবাচ্চাটো পূৰ হ'বলৈ ৩০ ঘণ্টা সময় লাগিব।
প্ৰশ্ন ১৫: ১০০ মিটাৰ দৌৰত A ই B ক ১০ মিটাৰত হৰুৱায়। ইয়াৰ অৰ্থ গাণিতিকভাৱে বুজাই লিখা।
উত্তৰ: ইয়াৰ অৰ্থ হ'ল যেতিয়া প্রযোগী A ই ১০০ মিটাৰ অতিক্ৰম কৰি শেষ ৰেখাত উপস্থিত হয়, ঠিক সেই একে সময়তে প্ৰতিযোগী B ই কেৱল ৯০ মিটাৰহে অতিক্ৰম কৰিব পাৰে।
৩. দীঘল প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Long Answer Questions - 5 Marks Each)
প্ৰশ্ন ১: সৰল সুত আৰু চক্ৰবৃদ্ধি সুতৰ মূল পাৰ্থক্য বুজাই লিখা। ১০,০০০ টকাৰ ১০% বার্ষিক সুতৰ হাৰত ২ বছৰৰ সৰল সুত আৰু চক্ৰবৃদ্ধি সুতৰ পাৰ্থক্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰ: সৰল সুত বনাম চক্ৰবৃদ্ধি সুত: সৰল সুতত (Simple Interest) প্ৰতি বছৰে কেৱল মূলধনৰ (Principal) ওপৰতহে সুত গণনা কৰা হয়, যাৰ বাবে প্ৰতি বছৰৰ সুত সমান থাকে। আনহাতে চক্ৰবৃদ্ধি সুতত (Compound Interest) প্ৰতি বছৰৰ শেষত অৰ্জিত সুত মূলধনৰ সৈতে যোগ কৰি নতুন মূলধন তৈয়াৰ কৰা হয়; অৰ্থাৎ ইয়াত "সুতৰ ওপৰতো সুত" গণনা কৰা হয়।
গাণিতিক সমস্যা সমাধান:
দিয়া আছে: মূলধন (P) = ১০,০০০ টকা, সুতৰ হাৰ (R) = ১০%, সময় (T) = ২ বছৰ।
১/ সৰল সুত (SI) = (P × R × T) / 100 = (10000 × 10 × 2) / 100 = ২,০০০ টকা।
২/ চক্ৰবৃদ্ধি সুতমূল (A) = P(1 + R/100)T = 10000(1 + 10/100)2 = 10000 × (11/10) × (11/10) = ১২,১০০ টকা।
গতিকে চক্ৰবৃদ্ধি সুত (CI) = A - P = ১২,১০০ - ১০,০০০ = ২,১০০ টকা।
উত্তৰ: ২ বছৰৰ চক্ৰবৃদ্ধি সুত আৰু সৰল সুতৰ পাৰ্থক্য ১০০ টকা।
প্ৰশ্ন ২: সময়, গতি আৰু দূরত্বৰ মূল সূত্ৰ আলোচনা কৰা। ১৫০ মিটাৰ দীঘল ৰেলগাড়ী এখনে ৬০ কিমি/ঘণ্টা বেগেৰে গৈ বিপৰীত দিশৰ পৰা ৩০ কিমি/ঘণ্টা বেগেৰে অহা ১৫০ মিটাৰ দীঘল আন এখন ৰেলগাড়ীক কিমান সময়ত অতিক্ৰম কৰিব?
উত্তৰ: মূল সূত্ৰসমূহ: গতি = দূৰত্ব / সময়। যেতিয়া দুখন ৰেলগাড়ী বিপৰীত দিশৰ পৰা ইফালে সিফালে গতি কৰে, তেতিয়া সিহঁতৰ আপেক্ষিক গতি (Relative Speed) যোগ হয় (Srel = S1 + S2)। দুয়োখন ৰেলগাড়ীয়ে ইটোৱে সিটোক অতিক্ৰম কৰিবলৈ লগা মোট দূৰত্ব = প্ৰথম ৰেলৰ দৈৰ্ঘ্য + দ্বিতীয় ৰেলৰ দৈৰ্ঘ্য।
গাণিতিক সমাধান:
মোট অতিক্রম কৰিবলগীয়া দূৰত্ব (D) = ১৫০ মিটাৰ + ১৫০ মিটাৰ = ৩০০ মিটাৰ।
আপেক্ষিক গতি (S) = ৬০ কিমি/ঘণ্টা + ৩০ কিমি/ঘণ্টা = ৯০ কিমি/ঘণ্টা।
গতিক মিটাৰ/ছেকেণ্ডালৈ নিলে: ৯০ × (৫/১৮) = ২৫ মিটাৰ/ছেকেণ্ড।
উত্তৰ: ৰেলগাড়ী দুখনে ইটোৱে সিটোক ১২ ছেকেণ্ডত অতিক্ৰম কৰিব।
প্ৰশ্ন ৩: সময় আৰু কাৰ্য সম্পৰ্কীয় গাণিতিক ধাৰণা বৰ্ণনা কৰা। A ই এটা কাম ২০ দিনত আৰু B ই ৩০ দিনত কৰিব পাৰে। দুয়ো একেলগে ৫ দিন কাম কৰাৰ পাছত A গুচি গ'ল। বাকী কামখিনি B ই অকলে কিমান দিনত শেষ কৰিব?
উত্তৰ: ধাৰণা: যদি কোনো ব্যক্তিয়ে এটা কাম n দিনত সম্পূৰ্ণ কৰে, তেন্তে ১ দিনত তেওঁ কামটোৰ (১/n) অংশ সম্পূৰ্ণ কৰিব।
গাণিতিক সমাধান:
A ৰ ১ দিনৰ কাম = ১/২০, B ৰ ১ দিনৰ কাম = ১/৩০।
(A + B) ৰ ১ দিনৰ যৌথ কাম = ১/২০ + ১/৩০ = (৩ + ২)/৬০ = ৫/৬০ = ১/১২ অংশ।
দুয়ো একেলগে ৫ দিনত কৰা কাম = ৫ × (১/১২) = ৫/১২ অংশ।
অৱশিষ্ট বাকী কাম = ১ - ৫/১২ = ৭/১২ অংশ।
B ই ১ অংশ কাম কৰে ৩০ দিনত। গতিকে B ই বাকী ৭/১২ অংশ কাম কৰিব = (৭/১২) × ৩০ = ৩৫/২ = ১৭.৫ দিনত।
উত্তৰ: B ই অকলে বাকী কামখিনি ১৭.৫ দিনত (বা ১৭ সাড়ে ১৭ দিনত) শেষ কৰিব।
প্ৰশ্ন ৪: বাৰ্ষিকী (Annuities) কি? নিয়মীয়া বাৰ্ষিকীৰ (Regular Annuity) ভৱিষ্যত মূল্য আৰু বৰ্তমান মূল্য নিৰ্ণয়ৰ সূত্ৰসমূহ আলোচনা কৰা।
উত্তৰ: বাৰ্ষিকী (Annuity): নিৰ্দিষ্ট সময়ৰ ব্যৱধানত ধাৰাবাহিকভাৱে প্ৰদান বা গ্ৰহণ কৰা সম-পৰিমাণৰ ধনৰ কিস্তিৰ শৃংখলাক বাৰ্ষিকী বোলে (যেনে— গৃহ ঋণৰ EMI, পেঞ্চন সংগ্ৰহ আদি)। যেতিয়া প্ৰতিটো পৰ্যায়ৰ শেষত কিস্তি প্ৰদান কৰা হয়, তাক **নিয়মীয়া বাৰ্ষিকী (Regular/Ordinary Annuity)** বোলে।
সূত্ৰসমূহ: (ইয়াত C = প্ৰতিটো কিস্তিৰ পৰিমাণ, r = প্ৰতিটো পৰ্যায়ৰ সুতৰ হাৰ, n = মোট কিস্তিৰ সংখ্যা)
১/ ভৱিষ্যত মূল্য (Future Value - FV): n টা কিস্তি পৰিশোধৰ পাছত মোট জমা হোৱা পৰিমাণ:
২/ বৰ্তমান মূল্য (Present Value - PV): ভৱিষ্যতে পাবলগীয়া সকলো কিস্তিৰ আজিৰ দিনত মোট এককালীন মান:
বিত্তীয় ব্যৱস্থাপনা, বেংক ঋণৰ EMI হিসাব আৰু বিনিয়োগৰ সঠিক মূল্যায়নৰ বাবে এই সূত্ৰসমূহ অত্যন্ত অপৰিহাৰ্য।
প্ৰশ্ন ৫: মিশ্ৰণ আৰু সংমিশ্ৰণ (Mixture and Alligation) নীতি বুজাই লিখা। ১২ টকা প্ৰতি কেজি মূল্যৰ চাউলৰ সৈতে ১৮ টকা প্ৰতি কেজি মূল্যৰ চাউল কি অনুপাতত মিহলালে মিশ্ৰণটোৰ মূল্য ১৫ টকা প্ৰতি কেজি হ'ব?
উত্তৰ: সংমিশ্ৰণ নীতি (Rule of Alligation): সংমিশ্ৰণ নীতি হ'ল দুটা বা তাতোধিক ভিন্ন মূল্যৰ উপাদান মিহলাই এটা মধ্যম গড় মূল্যৰ মিশ্ৰণ প্ৰস্তুত কৰোঁতে উপাদানসমূহ কি পৰিমাণ বা অনুপাতত মিহলাব লাগিব তাক দ্ৰুতভাৱে নিৰ্ধাৰণ কৰাৰ এক সুচল পাটীগণিতীয় নিয়ম।
গাণিতিক সমাধান:
সস্তা চাউলৰ মূল্য (c) = ১২ টকা/কেজি
দামী চাউলৰ মূল্য (d) = ১৮ টকা/কেজি
গড় মিশ্ৰিত মূল্য (m) = ১৫ টকা/কেজি
Alligation সূত্ৰ মতে: (সস্তা চাউলৰ পৰিমাণ) / (দামী চাউলৰ পৰিমাণ) = (d - m) / (m - c)
উত্তৰ: দুয়ো প্ৰকাৰৰ চাউল ১:১ অনুপাতত (অৰ্থাৎ সম-পৰিমাণত) মিহলাব লাগিব।
১. অতি চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Very Short Questions & Answers - 1 Mark Each)
প্ৰশ্ন ১: ভগ্নাংশ 3/5 ক শতাংশলৈ ৰূপান্তৰ কৰিলে ইয়াৰ মান কিমান হ'ব?
উত্তৰ: (3/5) × 100% = 60%।
প্ৰশ্ন ২: ৫ টা সংখ্যাৰ যোগফল ১৫০ হ'লে সিহঁতৰ গড় কিমান?
উত্তৰ: গড় = ১৫০ / ৫ = ৩০।
প্ৰশ্ন ৩: ৰেহাই (Discount) সদায় বস্তুৰ কোনটো মূল্যৰ ওপৰত গণনা কৰা হয়?
উত্তৰ: লিখিত মূল্য বা ধাৰ্য্য মূল্যৰ (Marked Price) ওপৰত।
প্ৰশ্ন ৪: ক্ৰয় মূল্য ৫০০ টকা আৰু বিক্ৰী মূল্য ৫৫০ টকা হ'লে লাভৰ শতাংশ কিমান?
উত্তৰ: লাভ = ৫০ টকা; লাভৰ শতাংশ = (৫০/৫০০) × ১০০% = ১০%।
প্ৰশ্ন ৫: গতি (Speed), দূৰত্ব (Distance) আৰু সময়ৰ (Time) সম্পৰ্কটো কি?
উত্তৰ: গতি = দূৰত্ব / সময় (Speed = Distance / Time)।
প্ৰশ্ন ৬: যদি এজন মানুহে এটা কাম ১০ দিনত কৰিব পাৰে, তেন্তে ১ দিনত তেওঁ কামটোৰ কিমান অংশ কৰিব?
উত্তৰ: ১/১০ অংশ।
প্ৰশ্ন ৭: ঘড়ীৰ মিনিটৰ কাটাডালে ১ মিনিটত কিমান ডিগ্ৰী কোণ অতিক্ৰম কৰে?
উত্তৰ: ৬° (৩৬০° / ৬০ মিনিট)।
প্ৰশ্ন ৮: এটা সাধাৰণ বছৰত (Non-leap year) অতিৰিক্ত দিন (Odd Days) কিমানটা থাকে?
উত্তৰ: ১ টা দিন (৩৬৫ ÷ ৭ = ৫২ সপ্তাহ আৰু ১ অতিৰিক্ত দিন)।
প্ৰশ্ন ৯: অংশীদাৰিত্বৰ ব্যৱসায়ত লাভৰ বণ্টন কিহৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে?
উত্তৰ: বিনিয়োগ কৰা মূলধন আৰু সময়ৰ গুণফলৰ অনুপাতৰ ওপৰত।
প্ৰশ্ন ১০: সৰল সুত নিৰূপণৰ মূল সূত্ৰ SI কি?
উত্তৰ: SI = (P × R × T) / 100।
প্ৰশ্ন ১১: বাৰ্ষিকী (Annuity) বুলিলে কি বুজায়?
উত্তৰ: নিৰ্দ্বিষ্ট সময়ৰ ব্যৱধানত ধাৰাবাহিকভাৱে পৰিশোধ বা গ্ৰহণ কৰা সম-পৰিমাণৰ ধনৰ কিস্তিক বাৰ্ষিকী বোলে।
প্ৰশ্ন ১২: যদি এটা পাইপে চৌবাচ্চা এটা ৪ ঘণ্টাত পূৰ কৰে, ১ ঘণ্টাত কিমান অংশ পূৰ হ'ব?
উত্তৰ: ১/৪ অংশ।
প্ৰশ্ন ১৩: নাও এখনৰ স্থিত পানীত বেগ u আৰু সোঁতৰ বেগ v হ'লে সোঁতৰ অনুকূলে (Downstream) বেগ কিমান?
উত্তৰ: (u + v)।
প্ৰশ্ন ১৪: ১ কিমি/ঘণ্টাক মিটাৰ/ছেকেণ্ডালৈ ৰূপান্তৰ কৰিবলৈ কিহেৰে পূৰণ কৰিব লাগে?
উত্তৰ: ৫/১৮ ৰে (5/18)।
প্ৰশ্ন ১৫: দৌৰ খেলত "Dead Heat" বুলিলে কি বুজায়?
উত্তৰ: যেতিয়া প্ৰতিযোগীসকলে একে সময়তে শেষ ৰেখা স্পৰ্শ কৰে আৰু খেলখন অমীমাংসিতভাৱে সমাপ্ত হয়।
২. চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Short Answer Questions - 2 Marks Each)
প্ৰশ্ন ১: বস্তু একটাৰ দাম ২০% বৃদ্ধি পাই পাছত ২০% হ্ৰাস পালে, সামগ্ৰিকভাৱে মূল্যৰ কি পৰিৱৰ্তন হ'ব?
উত্তৰ: যদি কোনো মূল্য x% বৃদ্ধি পাই পাছত x% হ্ৰাস পায়, তেন্তে সদায় হ্ৰাস হয় = (x2/100) percent। ইয়াত x = 20, গতিকে হ্ৰাস = (202/100)% = (400/100)% = 4%। অৰ্থাৎ বস্তুটাৰ মূল্য ৪% হ্ৰাস পাব।
প্ৰশ্ন ২: ১০ টা সংখ্যাৰ গড় ২৫। প্ৰতিটো সংখ্যাৰ সৈতে ৫ যোগ কৰিলে নতুন গড় কিমান হ'ব?
উত্তৰ: গড়ৰ নিয়ম অনুসৰি, যদি প্ৰতিটো মান বা রাশিৰ সৈতে এটা ধ্ৰুৱক সংখ্যা k যোগ কৰা হয়, তেন্তে পুৰণি গড়ৰ সৈতেও k যোগ হয়। গতিকে ইয়াত নতুন গড় হ'ব = পুৰণি গড় + ৫ = ২৫ + ৫ = ৩০।
প্ৰশ্ন ৩: ক্ৰমৱৰ্তী ৰেহাই (Successive Discounts) ১০% আৰু ২০% ৰ সমান এক একক ৰেহাই কিমান?
উত্তৰ: এক একক ৰেহাই = [d1 + d2 - (d1 × d2 / 100)]%। ইয়াত d1 = 10, d2 = 20। গতিকে এক একক ৰেহাই = [10 + 20 - (10 × 20 / 100)]% = [30 - 2]% = 28%।
প্ৰশ্ন ৪: পিতা আৰু পুত্ৰৰ বৰ্তমান বয়সৰ অনুপাত ৪:১। ৫ বছৰ পাছত সিহঁতৰ বয়সৰ যোগফল ৬০ বছৰ হ'লে পুত্ৰৰ বৰ্তমান বয়স কিমান?
উত্তৰ: ধৰা হ'ল পিতাৰ বয়স 4x আৰু পুত্ৰৰ বয়স 1x। ৫ বছৰ পাছত পিতাৰ বয়স (4x + 5) আৰু পুত্ৰৰ (x + 5)। প্ৰশ্নমতে, (4x + 5) + (x + 5) = 60 ⇒ 5x + 10 = 60 ⇒ 5x = 50 ⇒ x = 10। গতিকে পুত্ৰৰ বৰ্তমান বয়স ১০ বছৰ।
প্ৰশ্ন ৫: এজন মানুহে ৬০ কিমি/ঘণ্টা বেগেৰে গৈ ১২০ কিমি পথ অতিক্ৰম কৰে। তেওঁৰ লগা সময় উলিওৱা।
উত্তৰ: সময় = দূৰত্ব / গতি। ইয়াত দূৰত্ব = ১২০ কিমি, গতি = ৬০ কিমি/ঘণ্টা। গতিকে লগা সময় = ১২০ / ৬০ = ২ ঘণ্টা।
প্ৰশ্ন ৬: A আৰু B য়ে এটা কাম ক্ৰমে ১২ দিন আৰু ২৪ দিনত সম্পূৰ্ণ কৰিব পাৰে। দুয়ো একেলগে কৰিলে কামটো কিমান দিনত শেষ হ'ব?
উত্তৰ: ১ দিনত A ৰ কাম = ১/১২, B ৰ কাম = ১/২৪। দুয়োৰে ১ দিনৰ কাম = (১/১২ + ১/২৪) = ৩/২৪ = ১/৮ অংশ। গতিকে দুয়ো একেলগে কামটো ৮ দিনত সম্পূৰ্ণ কৰিব।
প্ৰশ্ন ৭: ৪:৩০ बजाত ঘড়ীৰ ঘণ্টা আৰু মিনিটৰ কাটাৰ মাজৰ কোণ কিমান?
উত্তৰ: সূত্ৰ: Angle = |30H - (11/2)M|। ইয়াত H = 4, M = 30। Angle = |30(4) - (11/2)(30)| = |120 - 165| = |-45| = 45°। গতিকে কোণ ৪৫°।
প্ৰশ্ন ৮: লিপ ইয়াৰ (Leap Year) কি আৰু ইয়াত কিমানটা অতিৰিক্ত দিন (Odd Days) থাকে?
উত্তৰ: যিবোৰ বছৰ ৪ ৰে (আৰু শতিকা হ'লে ৪০০ ৰে) বিভাজ্য হয়, তাক লিপ ইয়াৰ বোলে। লিপ ইয়াৰত ৩৬৬ টা দিন থাকে। ৩৬৬ ÷ ৭ = ৫২ সপ্তাহ আৰু ২ দিন। গতিকে ইয়াত ২ টা অতিৰিক্ত দিন থাকে।
প্ৰশ্ন ৯: সমানুপাতৰ চৰ্ত ($a:b = c:d$) ব্যাখা কৰা।
উত্তৰ: দুটা অনুপাত সমান হ'লে তাক সমানুপাত বোলে। অৰ্থাৎ a/b = c/d। ইয়াত আটাইতকৈ গুৰুত্বপূৰ্ণ নিয়মটো হ'ল: প্ৰান্তীয় পদদ্বয়ৰ গুণফল = মধ্যম পদদ্বয়ৰ গুণফল (Product of extremes = Product of means), অৰ্থাৎ ad = bc।
প্ৰশ্ন ১০: ফলপ্ৰসূ সুতৰ হার (Effective Rate of Interest) বুলিলে কি বুজা?
উত্তৰ: যেতিয়া বছৰত একাধিকবাৰ (যেনে ষাণ্মাসিক বা ত্ৰৈমাসিক) চক্রবৃদ্ধি সুত গণনা কৰা হয়, তেতিয়া পাওঁ পোৱা আচল বার্ষিক সুতৰ হাৰ নামমাত্ৰ হাৰতকৈ অধিক হয়। এই প্ৰকৃত বার্ষিক সুতৰ হাৰকে ফলপ্ৰসূ সুতৰ হাৰ (reff) বোলা হয়।
প্ৰশ্ন ১১: বৰ্তমান মূল্য (Present Value) আৰু ভৱিষ্যত মূল্যৰ (Future Value) পাৰ্থক্য লিখা।
উত্তৰ: ভৱিষ্যতে প্ৰাপ্য কোনো ধনৰ পৰিমাণৰ আজিৰ দিনত সুতৰ হাৰ বাদ দি গণনা কৰা মূল্যই হ'ল বৰ্তমান মূল্য (PV)। আনহাতে, বৰ্তমানৰ কোনো মূলধন নিৰ্দ্বিষ্ট সময় পাছত সুতে-মূলে বৃদ্ধি পাই যি পৰিমাণ হয়, তাক ভৱিষ্যত মূল্য (FV) বোলে।
প্ৰশ্ন ১২: সংমিশ্ৰণ নিয়ম (Alligation Rule) ৰ গাণিতিক সূত্ৰটো কি?
উত্তৰ: যেতিয়া দুটা ভিন্ন মূল্যৰ (সস্তা c আৰু দামী d) বস্তু মিহলাই মধ্যম মূল্য m ৰ সংমিশ্ৰণ তৈয়াৰ কৰা হয়, তেতিয়া সিহঁতৰ পৰিমাণৰ অনুপাত হ'ব: (সস্তা বস্তুৰ পৰিমাণ / দামী বস্তুৰ পৰিমাণ) = (d - m) / (m - c)।
প্ৰশ্ন ১৩: নাও এখনৰ সোঁতৰ অনুকূলে বেগ ১৫ কিমি/ঘণ্টা আৰু সোঁতৰ প্ৰতিকূলে বেগ ৯ কিমি/ঘণ্টা হ'লে স্থিত পানীত নাওখনৰ বেগ কিমান?
উত্তৰ: স্থিত পানীত নাওখনৰ বেগ = ১/২ × (অনুকূলে বেগ + প্ৰতিকূলে বেগ) = ১/২ × (১৫ + ৯) = ১/২ × ২৪ = ১২ কিমি/ঘণ্টা।
প্ৰশ্ন ১৪: পাইপ A ই ১০ ঘণ্টাত চৌবাচ্চা পূৰ কৰে আৰু পাইপ B ই ১৫ ঘণ্টাত খালি কৰে। দুয়ো একেলগে খুলিলে চৌবাচ্চা কিমান সময়ত সম্পূৰ্ণ পূৰ হ'ব?
উত্তৰ: ১ ঘণ্টাত কাম = (১/১০ - ১/১৫) = (৩ - ২)/৩০ = ১/৩০ অংশ। গতিকে চৌবাচ্চাটো পূৰ হ'বলৈ ৩০ ঘণ্টা সময় লাগিব।
প্ৰশ্ন ১৫: ১০০ মিটাৰ দৌৰত A ই B ক ১০ মিটাৰত হৰুৱায়। ইয়াৰ অৰ্থ গাণিতিকভাৱে বুজাই লিখা।
উত্তৰ: ইয়াৰ অৰ্থ হ'ল যেতিয়া প্রযোগী A ই ১০০ মিটাৰ অতিক্ৰম কৰি শেষ ৰেখাত উপস্থিত হয়, ঠিক সেই একে সময়তে প্ৰতিযোগী B ই কেৱল ৯০ মিটাৰহে অতিক্ৰম কৰিব পাৰে।
৩. দীঘল প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Long Answer Questions - 5 Marks Each)
প্ৰশ্ন ১: সৰল সুত আৰু চক্ৰবৃদ্ধি সুতৰ মূল পাৰ্থক্য বুজাই লিখা। ১০,০০০ টকাৰ ১০% বার্ষিক সুতৰ হাৰত ২ বছৰৰ সৰল সুত আৰু চক্ৰবৃদ্ধি সুতৰ পাৰ্থক্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰ: সৰল সুত বনাম চক্ৰবৃদ্ধি সুত: সৰল সুতত (Simple Interest) প্ৰতি বছৰে কেৱল মূলধনৰ (Principal) ওপৰতহে সুত গণনা কৰা হয়, যাৰ বাবে প্ৰতি বছৰৰ সুত সমান থাকে। আনহাতে চক্ৰবৃদ্ধি সুতত (Compound Interest) প্ৰতি বছৰৰ শেষত অৰ্জিত সুত মূলধনৰ সৈতে যোগ কৰি নতুন মূলধন তৈয়াৰ কৰা হয়; অৰ্থাৎ ইয়াত "সুতৰ ওপৰতো সুত" গণনা কৰা হয়।
গাণিতিক সমস্যা সমাধান:
দিয়া আছে: মূলধন (P) = ১০,০০০ টকা, সুতৰ হাৰ (R) = ১০%, সময় (T) = ২ বছৰ।
১/ সৰল সুত (SI) = (P × R × T) / 100 = (10000 × 10 × 2) / 100 = ২,০০০ টকা।
২/ চক্ৰবৃদ্ধি সুতমূল (A) = P(1 + R/100)T = 10000(1 + 10/100)2 = 10000 × (11/10) × (11/10) = ১২,১০০ টকা।
গতিকে চক্ৰবৃদ্ধি সুত (CI) = A - P = ১২,১০০ - ১০,০০০ = ২,১০০ টকা।
উত্তৰ: ২ বছৰৰ চক্ৰবৃদ্ধি সুত আৰু সৰল সুতৰ পাৰ্থক্য ১০০ টকা।
প্ৰশ্ন ২: সময়, গতি আৰু দূরত্বৰ মূল সূত্ৰ আলোচনা কৰা। ১৫০ মিটাৰ দীঘল ৰেলগাড়ী এখনে ৬০ কিমি/ঘণ্টা বেগেৰে গৈ বিপৰীত দিশৰ পৰা ৩০ কিমি/ঘণ্টা বেগেৰে অহা ১৫০ মিটাৰ দীঘল আন এখন ৰেলগাড়ীক কিমান সময়ত অতিক্ৰম কৰিব?
উত্তৰ: মূল সূত্ৰসমূহ: গতি = দূৰত্ব / সময়। যেতিয়া দুখন ৰেলগাড়ী বিপৰীত দিশৰ পৰা ইফালে সিফালে গতি কৰে, তেতিয়া সিহঁতৰ আপেক্ষিক গতি (Relative Speed) যোগ হয় (Srel = S1 + S2)। দুয়োখন ৰেলগাড়ীয়ে ইটোৱে সিটোক অতিক্ৰম কৰিবলৈ লগা মোট দূৰত্ব = প্ৰথম ৰেলৰ দৈৰ্ঘ্য + দ্বিতীয় ৰেলৰ দৈৰ্ঘ্য।
গাণিতিক সমাধান:
মোট অতিক্রম কৰিবলগীয়া দূৰত্ব (D) = ১৫০ মিটাৰ + ১৫০ মিটাৰ = ৩০০ মিটাৰ।
আপেক্ষিক গতি (S) = ৬০ কিমি/ঘণ্টা + ৩০ কিমি/ঘণ্টা = ৯০ কিমি/ঘণ্টা।
গতিক মিটাৰ/ছেকেণ্ডালৈ নিলে: ৯০ × (৫/১৮) = ২৫ মিটাৰ/ছেকেণ্ড।
উত্তৰ: ৰেলগাড়ী দুখনে ইটোৱে সিটোক ১২ ছেকেণ্ডত অতিক্ৰম কৰিব।
প্ৰশ্ন ৩: সময় আৰু কাৰ্য সম্পৰ্কীয় গাণিতিক ধাৰণা বৰ্ণনা কৰা। A ই এটা কাম ২০ দিনত আৰু B ই ৩০ দিনত কৰিব পাৰে। দুয়ো একেলগে ৫ দিন কাম কৰাৰ পাছত A গুচি গ'ল। বাকী কামখিনি B ই অকলে কিমান দিনত শেষ কৰিব?
উত্তৰ: ধাৰণা: যদি কোনো ব্যক্তিয়ে এটা কাম n দিনত সম্পূৰ্ণ কৰে, তেন্তে ১ দিনত তেওঁ কামটোৰ (১/n) অংশ সম্পূৰ্ণ কৰিব।
গাণিতিক সমাধান:
A ৰ ১ দিনৰ কাম = ১/২০, B ৰ ১ দিনৰ কাম = ১/৩০।
(A + B) ৰ ১ দিনৰ যৌথ কাম = ১/২০ + ১/৩০ = (৩ + ২)/৬০ = ৫/৬০ = ১/১২ অংশ।
দুয়ো একেলগে ৫ দিনত কৰা কাম = ৫ × (১/১২) = ৫/১২ অংশ।
অৱশিষ্ট বাকী কাম = ১ - ৫/১২ = ৭/১২ অংশ।
B ই ১ অংশ কাম কৰে ৩০ দিনত। গতিকে B ই বাকী ৭/১২ অংশ কাম কৰিব = (৭/১২) × ৩০ = ৩৫/২ = ১৭.৫ দিনত।
উত্তৰ: B ই অকলে বাকী কামখিনি ১৭.৫ দিনত (বা ১৭ সাড়ে ১৭ দিনত) শেষ কৰিব।
প্ৰশ্ন ৪: বাৰ্ষিকী (Annuities) কি? নিয়মীয়া বাৰ্ষিকীৰ (Regular Annuity) ভৱিষ্যত মূল্য আৰু বৰ্তমান মূল্য নিৰ্ণয়ৰ সূত্ৰসমূহ আলোচনা কৰা।
উত্তৰ: বাৰ্ষিকী (Annuity): নিৰ্দিষ্ট সময়ৰ ব্যৱধানত ধাৰাবাহিকভাৱে প্ৰদান বা গ্ৰহণ কৰা সম-পৰিমাণৰ ধনৰ কিস্তিৰ শৃংখলাক বাৰ্ষিকী বোলে (যেনে— গৃহ ঋণৰ EMI, পেঞ্চন সংগ্ৰহ আদি)। যেতিয়া প্ৰতিটো পৰ্যায়ৰ শেষত কিস্তি প্ৰদান কৰা হয়, তাক **নিয়মীয়া বাৰ্ষিকী (Regular/Ordinary Annuity)** বোলে।
সূত্ৰসমূহ: (ইয়াত C = প্ৰতিটো কিস্তিৰ পৰিমাণ, r = প্ৰতিটো পৰ্যায়ৰ সুতৰ হাৰ, n = মোট কিস্তিৰ সংখ্যা)
১/ ভৱিষ্যত মূল্য (Future Value - FV): n টা কিস্তি পৰিশোধৰ পাছত মোট জমা হোৱা পৰিমাণ:
২/ বৰ্তমান মূল্য (Present Value - PV): ভৱিষ্যতে পাবলগীয়া সকলো কিস্তিৰ আজিৰ দিনত মোট এককালীন মান:
বিত্তীয় ব্যৱস্থাপনা, বেংক ঋণৰ EMI হিসাব আৰু বিনিয়োগৰ সঠিক মূল্যায়নৰ বাবে এই সূত্ৰসমূহ অত্যন্ত অপৰিহাৰ্য।
প্ৰশ্ন ৫: মিশ্ৰণ আৰু সংমিশ্ৰণ (Mixture and Alligation) নীতি বুজাই লিখা। ১২ টকা প্ৰতি কেজি মূল্যৰ চাউলৰ সৈতে ১৮ টকা প্ৰতি কেজি মূল্যৰ চাউল কি অনুপাতত মিহলালে মিশ্ৰণটোৰ মূল্য ১৫ টকা প্ৰতি কেজি হ'ব?
উত্তৰ: সংমিশ্ৰণ নীতি (Rule of Alligation): সংমিশ্ৰণ নীতি হ'ল দুটা বা তাতোধিক ভিন্ন মূল্যৰ উপাদান মিহলাই এটা মধ্যম গড় মূল্যৰ মিশ্ৰণ প্ৰস্তুত কৰোঁতে উপাদানসমূহ কি পৰিমাণ বা অনুপাতত মিহলাব লাগিব তাক দ্ৰুতভাৱে নিৰ্ধাৰণ কৰাৰ এক সুচল পাটীগণিতীয় নিয়ম।
গাণিতিক সমাধান:
সস্তা চাউলৰ মূল্য (c) = ১২ টকা/কেজি
দামী চাউলৰ মূল্য (d) = ১৮ টকা/কেজি
গড় মিশ্ৰিত মূল্য (m) = ১৫ টকা/কেজি
Alligation সূত্ৰ মতে: (সস্তা চাউলৰ পৰিমাণ) / (দামী চাউলৰ পৰিমাণ) = (d - m) / (m - c)
উত্তৰ: দুয়ো প্ৰকাৰৰ চাউল ১:১ অনুপাতত (অৰ্থাৎ সম-পৰিমাণত) মিহলাব লাগিব।
Percentage; Average; Discount; Profit and Loss
Percentage; Average; Discount; Profit and Loss
PART A — VERY SHORT ANSWER QUESTIONS (15 Questions × 1 Mark)
1. What is meant by percentage?
Answer: Percentage means a number expressed as a fraction of 100. Thus, x% = x / 100.
2. What is the arithmetic average of a set of numbers?
Answer: The arithmetic average is the sum of all observations divided by the number of observations: Average = Sum of observations / Number of observations.
3. What is discount?
Answer: Discount is the reduction allowed on the marked price of an article: Discount = Marked Price - Selling Price.
4. Define profit percentage.
Answer: Profit percentage is the profit expressed as a percentage of the cost price: Profit% = (Profit / Cost Price) × 100.
5. Write the relation between speed, distance and time.
Answer: Speed = Distance / Time. Hence, Distance = Speed × Time.
6. What is meant by ratio?
Answer: A ratio compares two quantities of the same kind by division. The ratio of a to b is written as a:b, where b ≠ 0.
7. What is simple interest?
Answer: Simple interest is interest calculated only on the original principal throughout the period: SI = (P × R × T) / 100, where P is principal, R is annual rate and T is time in years.
8. What is compound interest?
Answer: Compound interest is interest calculated on the principal together with the accumulated interest of previous periods: A = P(1 + R/100)n and CI = A - P.
9. What is the effective annual rate of interest?
Answer: The effective annual rate is the actual annual rate corresponding to periodic compounding. If nominal annual rate is r compounded m times a year, Reff = (1 + r/m)m - 1.
10. What is present value?
Answer: Present value is the amount that must be invested today to obtain a specified future amount at a given interest rate. For annual compounding, PV = FV / (1 + i)n.
11. What is an annuity?
Answer: An annuity is a series of equal payments or receipts made at equal time intervals. When payments are made at the end of each period, it is called an ordinary or regular annuity.
12. What is a regular annuity?
Answer: A regular annuity is an annuity in which equal payments occur at regular intervals, normally at the end of each period. Its future value is FV = A • [((1 + i)n - 1) / i], where A is the periodic payment.
13. What is meant by alligation?
Answer: Alligation is a method used to determine the proportions in which two or more ingredients having different prices or concentrations should be mixed to obtain a mixture of a desired price or concentration.
14. What is relative speed?
Answer: Relative speed is the speed of one object with respect to another. For objects moving in the same direction, it is the difference of their speeds; for opposite directions, it is their sum.
15. What is meant by downstream speed of a boat?
Answer: Downstream speed is the speed of a boat when it moves in the direction of the stream: Downstream speed = Speed in still water + Stream speed.
PART B — SHORT ANSWER QUESTIONS (15 Questions × 2 Marks)
1. A person's present age is 24 years and his brother's present age is 18 years. Find the ratio of their ages. What will be the ratio after 6 years?
Answer: Present age ratio: 24:18 = 4:3. After 6 years, their ages will be 30 and 24 years. Therefore, 30:24 = 5:4. Thus, the present ratio is 4:3, while the ratio after six years will be 5:4.
2. A train travels 180 km in 3 hours. Find its speed in km/h and m/s.
Answer: Speed is 180 / 3 = 60 km/h. Since 1 km/h = 5/18 m/s, 60 × (5/18) = 50/3 m/s. Therefore, the speed is 60 km/h, or approximately 16.67 m/s.
3. A can complete a work in 12 days and B can complete it in 18 days. How long will they take together?
Answer: A's one-day work is 1/12, and B's one-day work is 1/18. Therefore, 1/12 + 1/18 = 5/36. Hence, the time required together is 36 / 5 = 7.2 days. Thus, they complete the work together in 7.2 days.
4. Explain the difference between marked price and selling price.
Answer: The marked price is the price displayed or initially fixed by the seller for an article. The selling price is the actual price paid by the customer. If a discount is given, SP = MP - Discount. Thus, marked price may be higher than the actual selling price.
5. The ratio of two numbers is 3:5 and their sum is 64. Find the numbers.
Answer: Let the numbers be 3x and 5x. Then, 3x + 5x = 64 ⇒ 8x = 64 ⇒ x = 8. Therefore, the numbers are 3(8) = 24 and 5(8) = 40. Hence, the required numbers are 24 and 40.
6. Distinguish between simple interest and compound interest.
Answer: In simple interest, interest is calculated only on the original principal. In compound interest, interest is calculated on the principal plus previously accumulated interest. Therefore, for the same positive rate and period greater than one compounding period, compound interest is generally greater than simple interest.
7. Find the simple interest on ₹8,000 at 6% per annum for 3 years.
Answer: SI = (8000 × 6 × 3) / 100 = ₹1,440. Therefore, the simple interest is ₹1,440. The total amount after three years is ₹8,000 + ₹1,440 = ₹9,440.
8. What is the difference between present value and future value?
Answer: Present value (PV) is the current worth of a future amount after allowing for interest or discounting. Future value (FV) is the amount to which a present investment grows after a specified period. For compound interest, FV = PV(1 + i)n. Thus, PV moves a value backward in time, while FV moves it forward.
9. What is net present value?
Answer: Net present value (NPV) is the difference between the present value of future cash inflows and the present value of cash outflows, including the initial investment: NPV = PV(inflows) - PV(outflows). A positive NPV indicates that discounted inflows exceed discounted outflows.
10. Find the future value of an ordinary annuity of ₹2,000 per year for 3 years at 10% per annum.
Answer: For an ordinary annuity, FV = A • [((1 + i)n - 1) / i]. Here A = 2000, i = 0.10, n = 3.
Thus, the future value is ₹6,620.
11. Two pipes can fill a tank in 12 hours and 18 hours respectively. How long will they take together?
Answer: Their combined filling rate is 1/12 + 1/18 = 5/36 tank per hour. Therefore, Time = 36 / 5 = 7.2 hours. Thus, both pipes together can fill the tank in 7.2 hours, or 7 hours 12 minutes.
12. Explain the basic principle of mixture and alligation.
Answer: Mixture problems determine the quantity or price of a combination of ingredients. Alligation provides a convenient ratio for mixing two items. If prices are C and D, and the mean price is M, the quantities are generally in the ratio: (C difference from M) : (D difference from M).
13. A boat moves at 12 km/h in still water and the stream flows at 3 km/h. Find its upstream and downstream speeds.
Answer: Upstream speed = 12 - 3 = 9 km/h. Downstream speed = 12 + 3 = 15 km/h. Therefore, the boat travels at 9 km/h upstream and 15 km/h downstream. The stream assists the boat downstream and opposes its motion upstream.
14. What is the difference between a partnership and ordinary sharing in a ratio?
Answer: In ordinary sharing, quantities are divided according to a given ratio. In partnership, profit is normally divided according to the partners' capital contributions multiplied by the periods for which the capitals remain invested. Thus, if capitals are unequal or invested for different durations, time must be considered.
15. What is the rule for determining whether a year is a leap year?
Answer: A year divisible by 4 is generally a leap year, except century years. A century year must be divisible by 400 to be a leap year. Thus, 2000 was a leap year, whereas 1900 was not. A leap year contains 366 days, while an ordinary year contains 365 days.
PART C — LONG ANSWER QUESTIONS (5 Questions × 5 Marks)
1. Explain percentage, profit and loss, discount, and their important formulae with a suitable example.
Answer: Percentage expresses a quantity as a fraction of 100. If a quantity x is p% of another quantity y, then x = (p / 100) • y. Percentage calculations are widely used in commercial mathematics, particularly in profit, loss and discount problems.
If an article is purchased for Cost Price (CP) and sold for Selling Price (SP), then:
• Profit = SP - CP (when SP > CP)
• Loss = CP - SP (when CP > SP)
• Profit% = (Profit / CP) × 100
• Loss% = (Loss / CP) × 100
The Marked Price (MP) is the price indicated by the seller before allowing a discount. If the discount is D, then SP = MP - D and Discount% = (D / MP) × 100.
Example: Suppose an article costs ₹800 and is sold for ₹920. Then Profit = 920 - 800 = ₹120, and Profit% = (120 / 800) × 100 = 15%. If an article marked at ₹1,000 is sold after a 10% discount, the discount is ₹100 and the selling price is ₹900. Thus, percentage forms the basic mathematical framework for solving commercial problems.
2. Explain time, speed and distance problems, including relative speed and boats and streams.
Answer: The fundamental relationship among distance, speed and time is: Speed = Distance / Time, Distance = Speed × Time, and Time = Distance / Speed. Care must be taken to use consistent units (e.g., 1 km/h = 5/18 m/s).
When two objects move in the same direction, their relative speed is the difference between their speeds. When they move in opposite directions, their relative speed is the sum of their speeds.
For boats and streams, let the speed of a boat in still water be u, and the speed of the stream be v:
• Downstream speed = u + v
• Upstream speed = u - v
Consequently, u = (Downstream speed + Upstream speed) / 2 and v = (Downstream speed - Upstream speed) / 2.
Example: If a boat moves at 15 km/h downstream and 9 km/h upstream, then u = (15 + 9) / 2 = 12 km/h, and v = (15 - 9) / 2 = 3 km/h. These relationships are useful in problems involving trains, vehicles, boats, streams and relative motion.
3. Explain simple interest, compound interest, effective rate, present value, future value and net present value.
Answer: Simple Interest (SI) is calculated only on the original principal P: SI = (P × R × T) / 100, and Amount A = P + SI.
In Compound Interest (CI), interest is added to the principal and subsequent interest is calculated on accumulated amount. For annual compounding: A = P(1 + R/100)n and CI = A - P. If compounded m times per year at nominal annual rate r: A = P(1 + r/m)mn.
The corresponding effective annual rate is Reff = (1 + r/m)m - 1.
Future value (FV) represents investment growth: FV = PV(1 + i)n. Therefore, present value (PV) is PV = FV / (1 + i)n.
Net Present Value (NPV) compares present values of cash flows: NPV = PV(future inflows) - PV(investment outflows). These concepts allow meaningful financial comparisons by bringing cash flows to a common date.
4. What is an annuity? Derive the future value of a regular annuity.
Answer: An annuity is a sequence of equal payments or receipts made at equal intervals. When payments are made at the end of each period, it is called an ordinary or regular annuity.
Suppose a payment of A is made at the end of every year for n years at an interest rate per year of i. The accumulated value at the end of the n-th year is:
FV = A(1 + i)n-1 + A(1 + i)n-2 + … + A
This is a geometric progression. Summing this series gives the standard formula:
Example: For an annual payment of ₹2,000 for 3 years at 10% interest: FV = 2000 • [(1.103 - 1) / 0.10] = 2000 • (0.331 / 0.10) = ₹6,620. Annuity calculations are vital in systematic savings, retirement planning, loan EMIs, and periodic investments.
5. Explain time and work, pipes and cisterns, mixture and alligation, partnership, races and games.
Answer:
• Time and Work: Based on work rate. If a person completes a work in n days, the person's one-day work is 1/n. Combined rates are added: 1/10 + 1/15 = 1/6 (6 days total).
• Pipes and Cisterns: Follows work rate rules; filling pipes contribute positive rates while emptying pipes contribute negative rates.
• Mixture and Alligation: Combines items of different prices or concentrations to obtain a desired mean value using quick ratio comparisons.
• Partnership: Profits are divided according to the product of capital invested (C) and investment time period (T), giving ratio C1T1 : C2T2.
• Races and Games: Compares speeds, distances, and relative performances to determine winners or time/distance leads. All these problems require converting word problems into rate or ratio equations before calculating.
PART A — VERY SHORT ANSWER QUESTIONS (15 Questions × 1 Mark)
1. What is meant by percentage?
Answer: Percentage means a number expressed as a fraction of 100. Thus, x% = x / 100.
2. What is the arithmetic average of a set of numbers?
Answer: The arithmetic average is the sum of all observations divided by the number of observations: Average = Sum of observations / Number of observations.
3. What is discount?
Answer: Discount is the reduction allowed on the marked price of an article: Discount = Marked Price - Selling Price.
4. Define profit percentage.
Answer: Profit percentage is the profit expressed as a percentage of the cost price: Profit% = (Profit / Cost Price) × 100.
5. Write the relation between speed, distance and time.
Answer: Speed = Distance / Time. Hence, Distance = Speed × Time.
6. What is meant by ratio?
Answer: A ratio compares two quantities of the same kind by division. The ratio of a to b is written as a:b, where b ≠ 0.
7. What is simple interest?
Answer: Simple interest is interest calculated only on the original principal throughout the period: SI = (P × R × T) / 100, where P is principal, R is annual rate and T is time in years.
8. What is compound interest?
Answer: Compound interest is interest calculated on the principal together with the accumulated interest of previous periods: A = P(1 + R/100)n and CI = A - P.
9. What is the effective annual rate of interest?
Answer: The effective annual rate is the actual annual rate corresponding to periodic compounding. If nominal annual rate is r compounded m times a year, Reff = (1 + r/m)m - 1.
10. What is present value?
Answer: Present value is the amount that must be invested today to obtain a specified future amount at a given interest rate. For annual compounding, PV = FV / (1 + i)n.
11. What is an annuity?
Answer: An annuity is a series of equal payments or receipts made at equal time intervals. When payments are made at the end of each period, it is called an ordinary or regular annuity.
12. What is a regular annuity?
Answer: A regular annuity is an annuity in which equal payments occur at regular intervals, normally at the end of each period. Its future value is FV = A • [((1 + i)n - 1) / i], where A is the periodic payment.
13. What is meant by alligation?
Answer: Alligation is a method used to determine the proportions in which two or more ingredients having different prices or concentrations should be mixed to obtain a mixture of a desired price or concentration.
14. What is relative speed?
Answer: Relative speed is the speed of one object with respect to another. For objects moving in the same direction, it is the difference of their speeds; for opposite directions, it is their sum.
15. What is meant by downstream speed of a boat?
Answer: Downstream speed is the speed of a boat when it moves in the direction of the stream: Downstream speed = Speed in still water + Stream speed.
PART B — SHORT ANSWER QUESTIONS (15 Questions × 2 Marks)
1. A person's present age is 24 years and his brother's present age is 18 years. Find the ratio of their ages. What will be the ratio after 6 years?
Answer: Present age ratio: 24:18 = 4:3. After 6 years, their ages will be 30 and 24 years. Therefore, 30:24 = 5:4. Thus, the present ratio is 4:3, while the ratio after six years will be 5:4.
2. A train travels 180 km in 3 hours. Find its speed in km/h and m/s.
Answer: Speed is 180 / 3 = 60 km/h. Since 1 km/h = 5/18 m/s, 60 × (5/18) = 50/3 m/s. Therefore, the speed is 60 km/h, or approximately 16.67 m/s.
3. A can complete a work in 12 days and B can complete it in 18 days. How long will they take together?
Answer: A's one-day work is 1/12, and B's one-day work is 1/18. Therefore, 1/12 + 1/18 = 5/36. Hence, the time required together is 36 / 5 = 7.2 days. Thus, they complete the work together in 7.2 days.
4. Explain the difference between marked price and selling price.
Answer: The marked price is the price displayed or initially fixed by the seller for an article. The selling price is the actual price paid by the customer. If a discount is given, SP = MP - Discount. Thus, marked price may be higher than the actual selling price.
5. The ratio of two numbers is 3:5 and their sum is 64. Find the numbers.
Answer: Let the numbers be 3x and 5x. Then, 3x + 5x = 64 ⇒ 8x = 64 ⇒ x = 8. Therefore, the numbers are 3(8) = 24 and 5(8) = 40. Hence, the required numbers are 24 and 40.
6. Distinguish between simple interest and compound interest.
Answer: In simple interest, interest is calculated only on the original principal. In compound interest, interest is calculated on the principal plus previously accumulated interest. Therefore, for the same positive rate and period greater than one compounding period, compound interest is generally greater than simple interest.
7. Find the simple interest on ₹8,000 at 6% per annum for 3 years.
Answer: SI = (8000 × 6 × 3) / 100 = ₹1,440. Therefore, the simple interest is ₹1,440. The total amount after three years is ₹8,000 + ₹1,440 = ₹9,440.
8. What is the difference between present value and future value?
Answer: Present value (PV) is the current worth of a future amount after allowing for interest or discounting. Future value (FV) is the amount to which a present investment grows after a specified period. For compound interest, FV = PV(1 + i)n. Thus, PV moves a value backward in time, while FV moves it forward.
9. What is net present value?
Answer: Net present value (NPV) is the difference between the present value of future cash inflows and the present value of cash outflows, including the initial investment: NPV = PV(inflows) - PV(outflows). A positive NPV indicates that discounted inflows exceed discounted outflows.
10. Find the future value of an ordinary annuity of ₹2,000 per year for 3 years at 10% per annum.
Answer: For an ordinary annuity, FV = A • [((1 + i)n - 1) / i]. Here A = 2000, i = 0.10, n = 3.
Thus, the future value is ₹6,620.
11. Two pipes can fill a tank in 12 hours and 18 hours respectively. How long will they take together?
Answer: Their combined filling rate is 1/12 + 1/18 = 5/36 tank per hour. Therefore, Time = 36 / 5 = 7.2 hours. Thus, both pipes together can fill the tank in 7.2 hours, or 7 hours 12 minutes.
12. Explain the basic principle of mixture and alligation.
Answer: Mixture problems determine the quantity or price of a combination of ingredients. Alligation provides a convenient ratio for mixing two items. If prices are C and D, and the mean price is M, the quantities are generally in the ratio: (C difference from M) : (D difference from M).
13. A boat moves at 12 km/h in still water and the stream flows at 3 km/h. Find its upstream and downstream speeds.
Answer: Upstream speed = 12 - 3 = 9 km/h. Downstream speed = 12 + 3 = 15 km/h. Therefore, the boat travels at 9 km/h upstream and 15 km/h downstream. The stream assists the boat downstream and opposes its motion upstream.
14. What is the difference between a partnership and ordinary sharing in a ratio?
Answer: In ordinary sharing, quantities are divided according to a given ratio. In partnership, profit is normally divided according to the partners' capital contributions multiplied by the periods for which the capitals remain invested. Thus, if capitals are unequal or invested for different durations, time must be considered.
15. What is the rule for determining whether a year is a leap year?
Answer: A year divisible by 4 is generally a leap year, except century years. A century year must be divisible by 400 to be a leap year. Thus, 2000 was a leap year, whereas 1900 was not. A leap year contains 366 days, while an ordinary year contains 365 days.
PART C — LONG ANSWER QUESTIONS (5 Questions × 5 Marks)
1. Explain percentage, profit and loss, discount, and their important formulae with a suitable example.
Answer: Percentage expresses a quantity as a fraction of 100. If a quantity x is p% of another quantity y, then x = (p / 100) • y. Percentage calculations are widely used in commercial mathematics, particularly in profit, loss and discount problems.
If an article is purchased for Cost Price (CP) and sold for Selling Price (SP), then:
• Profit = SP - CP (when SP > CP)
• Loss = CP - SP (when CP > SP)
• Profit% = (Profit / CP) × 100
• Loss% = (Loss / CP) × 100
The Marked Price (MP) is the price indicated by the seller before allowing a discount. If the discount is D, then SP = MP - D and Discount% = (D / MP) × 100.
Example: Suppose an article costs ₹800 and is sold for ₹920. Then Profit = 920 - 800 = ₹120, and Profit% = (120 / 800) × 100 = 15%. If an article marked at ₹1,000 is sold after a 10% discount, the discount is ₹100 and the selling price is ₹900. Thus, percentage forms the basic mathematical framework for solving commercial problems.
2. Explain time, speed and distance problems, including relative speed and boats and streams.
Answer: The fundamental relationship among distance, speed and time is: Speed = Distance / Time, Distance = Speed × Time, and Time = Distance / Speed. Care must be taken to use consistent units (e.g., 1 km/h = 5/18 m/s).
When two objects move in the same direction, their relative speed is the difference between their speeds. When they move in opposite directions, their relative speed is the sum of their speeds.
For boats and streams, let the speed of a boat in still water be u, and the speed of the stream be v:
• Downstream speed = u + v
• Upstream speed = u - v
Consequently, u = (Downstream speed + Upstream speed) / 2 and v = (Downstream speed - Upstream speed) / 2.
Example: If a boat moves at 15 km/h downstream and 9 km/h upstream, then u = (15 + 9) / 2 = 12 km/h, and v = (15 - 9) / 2 = 3 km/h. These relationships are useful in problems involving trains, vehicles, boats, streams and relative motion.
3. Explain simple interest, compound interest, effective rate, present value, future value and net present value.
Answer: Simple Interest (SI) is calculated only on the original principal P: SI = (P × R × T) / 100, and Amount A = P + SI.
In Compound Interest (CI), interest is added to the principal and subsequent interest is calculated on accumulated amount. For annual compounding: A = P(1 + R/100)n and CI = A - P. If compounded m times per year at nominal annual rate r: A = P(1 + r/m)mn.
The corresponding effective annual rate is Reff = (1 + r/m)m - 1.
Future value (FV) represents investment growth: FV = PV(1 + i)n. Therefore, present value (PV) is PV = FV / (1 + i)n.
Net Present Value (NPV) compares present values of cash flows: NPV = PV(future inflows) - PV(investment outflows). These concepts allow meaningful financial comparisons by bringing cash flows to a common date.
4. What is an annuity? Derive the future value of a regular annuity.
Answer: An annuity is a sequence of equal payments or receipts made at equal intervals. When payments are made at the end of each period, it is called an ordinary or regular annuity.
Suppose a payment of A is made at the end of every year for n years at an interest rate per year of i. The accumulated value at the end of the n-th year is:
FV = A(1 + i)n-1 + A(1 + i)n-2 + … + A
This is a geometric progression. Summing this series gives the standard formula:
Example: For an annual payment of ₹2,000 for 3 years at 10% interest: FV = 2000 • [(1.103 - 1) / 0.10] = 2000 • (0.331 / 0.10) = ₹6,620. Annuity calculations are vital in systematic savings, retirement planning, loan EMIs, and periodic investments.
5. Explain time and work, pipes and cisterns, mixture and alligation, partnership, races and games.
Answer:
• Time and Work: Based on work rate. If a person completes a work in n days, the person's one-day work is 1/n. Combined rates are added: 1/10 + 1/15 = 1/6 (6 days total).
• Pipes and Cisterns: Follows work rate rules; filling pipes contribute positive rates while emptying pipes contribute negative rates.
• Mixture and Alligation: Combines items of different prices or concentrations to obtain a desired mean value using quick ratio comparisons.
• Partnership: Profits are divided according to the product of capital invested (C) and investment time period (T), giving ratio C1T1 : C2T2.
• Races and Games: Compares speeds, distances, and relative performances to determine winners or time/distance leads. All these problems require converting word problems into rate or ratio equations before calculating.