Please choose your option, either Assamese medium or English medium
Please choose your option, either Assamese medium or English medium
সংখ্যা, বিভাজন এলগৰিদম, বিভাজ্যতাৰ পৰীক্ষা
সংখ্যা, বিভাজন এলগৰিদম, বিভাজ্যতাৰ পৰীক্ষা
১. অতি চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Very Short Questions & Answers - 1 Mark Each)
প্ৰশ্ন ১: বিভাজন এলগৰিদম (Division Algorithm) অনুসৰি যিকোনো দুটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা a আৰু b ৰ সম্পৰ্কটো কি?
উত্তৰ: a = bq + r, য’ত 0 ≤ r < b (q হ’ল ভাগফল আৰু r হ’ল ভাগশেষ)।
প্ৰশ্ন ২: কি চৰ্তত এটা সংখ্যা ৪ ৰে সম্পূৰ্ণৰূপে বিভাজ্য হয়?
উত্তৰ: সংখ্যাটোৰ শেষৰ দুটা অংকৰে (একক আৰু দশকৰ স্থান) গঠিত সংখ্যাটো ৪ ৰে বিভাজ্য হ’লে সমগ্ৰ সংখ্যাটো ৪ ৰে বিভাজ্য হয়।
প্ৰশ্ন ৩: ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যাটো (Prime Number) কি?
উত্তৰ: ২ (দুই)।
প্ৰশ্ন ৪: বাইনাৰী বা দ্বৈত সংখ্যা প্ৰণালীত (Binary Number System) ব্যৱহৃত মৌলিক অংক দুটা কি কি?
উত্তৰ: ০ আৰু ১।
প্ৰশ্ন ৫: দশমিক সংখ্যা প্ৰণালীৰ (Decimal System) ভূমি বা বেছ (Base) কিমান?
উত্তৰ: ১০ (দহ)।
প্ৰশ্ন ৬: যিকোনো অশূন্য সংখ্যা a ৰ বাবে a0 ৰ মান কিমান?
উত্তৰ: ১ (এক)।
প্ৰশ্ন ৭: লগাৰিথমৰ গুণফলৰ সূত্ৰ অনুসৰি logb(m • n) ক কিদৰে লিখা হয়?
উত্তৰ: logb(m) + logb(n)।
প্ৰশ্ন ৮: loga(1) ৰ মান কিমান?
উত্তৰ: ০ (শূন্য)।
প্ৰশ্ন ৯: এন্টিলগাৰিথম (Antilogarithm) বুলিলে কি বুজা?
উত্তৰ: এন্টিলগাৰিথম হ’ল লগাৰিথমিক ক্ৰিয়াৰ বিপৰীত ফল; অৰ্থাৎ যদি logb(x) = y হয়, তেন্তে antilogb(y) = x।
প্ৰশ্ন ১০: বাইনাৰী সংখ্যা (101)2 ৰ দশমিক মান (Decimal Value) কিমান?
উত্তৰ: ৫ (পাঁচ)।
প্ৰশ্ন ১১: সূচকৰ নিয়ম অনুসৰি (am)n ৰ মান কি হ'ব?
উত্তৰ: am • n।
প্ৰশ্ন ১২: ৩ ৰে বিভাজ্যতা পৰীক্ষাৰ মূল নিয়মটো কি?
উত্তৰ: সংখ্যাটোৰ অংকসমূহৰ যোগফল ৩ ৰে বিভাজ্য হ’ব লাগিব।
প্ৰশ্ন ১৩: কোনো সংখ্যা p মৌলিক হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰিবলৈ আমি কিমানলৈকে থকা মৌলিক সংখ্যাৰে ভাগ কৰি চাব লাগে?
উত্তৰ: √p লৈকে (বা √p ৰ সমান আৰু সৰু মৌলিক সংখ্যাসমূহৰে)।
প্ৰশ্ন ১৪: স্বাভাৱিক লগাৰিথমৰ (Natural Logarithm) বেছ (Base) কি ব্যৱহাৰ কৰা হয়?
উত্তৰ: ইৰাস্যনেল ধ্ৰুৱক e (e ≈ 2.718)।
প্ৰশ্ন ১৫: সূচকীয় ৰূপ by = x ক লগাৰিথমিক ৰূপত কেনেকৈ প্ৰকাশ কৰা হয়?
উত্তৰ: logb(x) = y।
২. চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Short Answer Questions - 2 Marks Each)
প্ৰশ্ন ১: ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা (Euclid's Division Lemma) কি?
উত্তৰ: যিকোনো দুটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা a আৰু b ৰ বাবে এনে একক অখণ্ড সংখ্যা q আৰু r বিদ্যমান, যাত a = bq + r আৰু 0 ≤ r < b হয়। ইয়াত a ক ভাজ্য, b ক ভাজক, q ক ভাগফল আৰু r ক ভাগশেষ বোলা হয়।
প্ৰশ্ন ২: ৯ আৰু ১১ ৰে বিভাজ্যতাৰ নিয়ম দুটা বৰ্ণনা কৰা।
উত্তৰ: (১) ৯ ৰে বিভাজ্যতা: সংখ্যা এটাৰ সকলো অংকৰ যোগফল ৯ ৰে বিভাজ্য হ’লে সমগ্ৰ সংখ্যাটো ৯ ৰে বিভাজ্য হয়। (২) ১১ ৰে বিভাজ্যতা: অযুচ্ছ আৰু যুগ্ম স্থানৰ অংকসমূহৰ যোগফলৰ পাৰ্থক্য ০ বা ১১ ৰ গুণিতক হ’লে সংখ্যাটো ১১ ৰে বিভাজ্য হয়।
প্ৰশ্ন ৩: এটা সংখ্যা N মৌলিক হয় নে নহয় কিদৰে পৰীক্ষা কৰিবা?
উত্তৰ: সংখ্যা N মৌলিক হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰিবলৈ, প্ৰথমে √N ৰ মান নিৰ্ধাৰণ কৰা হয়। তাৰ পিছত √N তকৈ সৰু বা সমান সকলো মৌলিক সংখ্যাৰে N ক ভাগ কৰা হয়। যদি ইয়াৰ কোনো এটা মৌলিক সংখ্যাৰেও N বিভাজ্য নহয়, তেন্তে N এটা মৌলিক সংখ্যা।
প্ৰশ্ন ৪: দশমিক সংখ্যা প্ৰণালী আৰু বাইনাৰী সংখ্যা প্ৰণালীৰ মুখ্য পাৰ্থক্য লিখা।
উত্তৰ: দশমিক প্ৰণালীৰ ভূমি (Base) ১০ আৰু ইয়াত ১০ টা অংক (০-৯) ব্যৱহাৰ হয়। আনহাতে বাইনাৰী প্ৰণালীৰ ভূমি ২ আৰু ইয়াত কেৱল দুটা অংক (০ আৰু ১) ব্যৱহাৰ হয়। গণনাত দশমিক প্ৰণালী মানুহে আৰু বাইনাৰী প্ৰণালী কম্পিউটাৰে ব্যৱহাৰ কৰে।
প্ৰশ্ন ৫: দশমিক সংখ্যা (25)10 ক বাইনাৰী সংখ্যা প্ৰণালীলৈ ৰূপান্তৰ কৰা।
উত্তৰ: ২৫ ক ২ ৰে ক্ৰমান্বয়ে ভাগ কৰি ভাগশেষ সংগ্ৰহ কৰিলে: 25÷2=12 (ভাগশেষ ১), 12÷2=6 (ভাগশেষ ০), 6÷2=3 (ভাগশেষ ০), 3÷2=1 (ভাগশেষ ১), 1÷2=0 (ভাগশেষ ১)। তলৰ পৰা ওপৰলৈ সজালে পাওঁ: (25)10 = (11001)2।
প্ৰশ্ন ৬: বাইনাৰী সংখ্যা (1101)2 ক দশমিক সংখ্যা প্ৰণালীলৈ ৰূপান্তৰ কৰা।
উত্তৰ: (1101)2 = (1 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (1 × 20) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13। অতএব, (1101)2 = (13)10।
প্ৰশ্ন ৭: সূচকৰ মৌলিক সূত্ৰসমূহ (am • an আৰু am / an) প্ৰকাশ কৰা।
উত্তৰ: একে ভূমি থকা সূচকৰ ক্ৰিয়া নিয়মসমূহ হ’ল: (১) গুণফলৰ নিয়ম: am • an = am+n (পূৰণ কৰোঁতে সূচকসমূহ যোগ হয়)। (২) ভাগফলৰ নিয়ম: am / an = am-n (ভাগ কৰোঁতে সূচকসমূহ বিয়োগ হয়)।
প্ৰশ্ন ৮: লগাৰিথমৰ ভূমি পৰিৱৰ্তনৰ সূত্ৰটো (Change of Base Formula) লিখা।
উত্তৰ: লগাৰিথমৰ ভূমি পৰিৱৰ্তনৰ নিয়ম অনুসৰি, যিকোনো ধনাত্মক ধ্ৰুৱক a, b, c (a, b, c ≠ 1) ৰ বাবে:
এই সূত্ৰটোৰ সহায়ত বিভিন্ন ভূমি থকা লগাৰিথমক সুবিধাজনক ভূমিলৈ ৰূপান্তৰ কৰিব পাৰি।
প্ৰশ্ন ৯: লগাৰিথমিক ভাগফল সূত্ৰ logb(m/n) = logb(m) - logb(n) প্ৰমাণ কৰা।
উত্তৰ: ধৰা হ’ল logb(m) = x ⇒ bx = m আৰু logb(n) = y ⇒ by = n। এতিয়া, m/n = bx/by = bx-y। দুয়োফালে লগাৰিথম ল'লে পাওঁ: logb(m/n) = x - y = logb(m) - logb(n)। [প্ৰমাণিত]
প্ৰশ্ন ১০: এন্টিলগাৰিথম কি? এটা উদাহৰণৰ সহায়ত বুজাই লিখা।
উত্তৰ: লগাৰিথমৰ বিপৰীত ক্ৰিয়াটোক এন্টিলগাৰিথম বোলা হয়। যদি কোনো সংখ্যা x ৰ লগাৰিথমৰ মান y হয় (log10x = y), তেন্তে y ৰ এন্টিলগাৰিথম হ’ব x (antilog10(y) = x = 10y)। উদাহৰণস্বৰূপে, যিহেতু log10(100) = 2, সেয়েহে antilog10(2) = 100।
প্ৰশ্ন ১১: সূচকৰ ঋণাত্মক মান a-n = 1 / an কিয় হয় ব্যাখ্যা কৰা।
উত্তৰ: সূচকৰ ভাগফল সূত্ৰ অনুসৰি, am/an = am-n। যদি m = 0 ধৰোঁ, তেন্তে পাওঁ: a0/an = a0-n = a-n। যিহেতু যিকোনো অশূন্য সংখ্যাৰ বাবে a0 = 1, সেয়েহে 1/an = a-n। অৰ্থাৎ ঋণাত্মক সূচকে প্ৰতিলোম মানক সূচায়।
প্ৰশ্ন ১২: সাধারণ লগাৰিথম (Common Logarithm) আৰু প্ৰাকৃতিক লগাৰিথমৰ (Natural Logarithm) পাৰ্থক্য কি?
উত্তৰ: সাধাৰণ লগাৰিথমত ভূমি ১০ ব্যৱহাৰ কৰা হয় (যেনে log10 x), যি গাণিতিক গণনা আৰু ব্যৱহাৰিক তালিকাৰ বাবে সুবিধাজনক। আনহাতে প্ৰাকৃতিক লগাৰিথমত ভূমি e (e ≈ 2.71828) ব্যৱহাৰ কৰা হয় (যেনে ln x বা loge x), যি উচ্চতৰ গণিত আৰু কলনগণিতত (Calculus) আৱশ্যকীয়।
প্ৰশ্ন ১৩: মান নিৰূপণ কৰা: log2(32)।
উত্তৰ: ধৰা হ’ল log2(32) = x। লগাৰিথমৰ সূচকীয় ৰূপ অনুসৰি: 2x = 32। যিহেতু 32 = 25, সেয়েহে 2x = 25 ⇒ x = 5। অতএব, log2(32) = 5।
প্ৰশ্ন ১৪: ১০০০ ক ১০ ৰ সূচক হিচাপে আৰু লগাৰিথমীয় ৰূপত প্ৰকাশ কৰা।
উত্তৰ: (১) সূচকীয় ৰূপ: 1000 = 103 (১০ ৰ ঘনফল)। (২) লগাৰিথমীয় ৰূপ: log10(1000) = 3 (১০ ভূমিৰ সাপেক্ষে ১০০০ ৰ লগাৰিথম ৩)।
প্ৰশ্ন ১৫: সূচকৰ ঘাটাংক সূত্ৰ logb(mp) = p logb(m) চমুকৈ ব্যাখ্যা কৰা।
উত্তৰ: ধৰা হ’ল logb(m) = x ⇒ bx = m। দুয়োফালে p শক্তি ল’লে: (bx)p = mp ⇒ bp•x = mp। ইাক লগাৰিথমীয় ৰূপত প্ৰকাশ কৰিলে: logb(mp) = p • x = p logb(m)। ই লগাৰিথমত শক্তি সলনিৰ নিয়ম নিৰ্ধাৰণ কৰে।
৩. দীঘল প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Long Answer Questions - 5 Marks Each)
প্ৰশ্ন ১: বিভাজন এলগৰিদম আলোচনা কৰা আৰু ইয়াক ব্যৱহাৰ কৰি গ.সা.গু. (HCF) নিৰ্ণয় কৰাৰ পদ্ধতি পদ্ধতিগতভাৱে উদাহৰণসহ বুজাই লিখা।
উত্তৰ: বিভাজন এলগৰিদম (Division Algorithm): অখণ্ড সংখ্যাৰ পাটীগণিতত বিভাজন এলগৰিদম এক মূল ভিত্তি। এই সূত্ৰ অনুসৰি, যিকোনো দুটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা a আৰু b (a > b) ৰ বাবে এনে অনন্য অখণ্ড সংখ্যা q (ভাগফল) আৰু r (ভাগশেষ) পোৱা যায়, যাত:
ইউক্লিডৰ এলগৰিদমৰে গ.সা.গু. নিৰ্ণয় পদ্ধতি:
উদাহৰণ: ২৫৫ আৰু ৮৬৭ ৰ গ.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰোঁ।
১/ প্ৰথম স্তৰত, ৮৬৭ ক ২৫৫ ৰে ভাগ কৰিলে: 867 = 255 × 3 + 102 (r = 102 ≠ 0)
২/ দ্বিতীয় স্তৰত, ২৫৫ ক ১০২ ৰে ভাগ কৰিলে: 255 = 102 × 2 + 51 (r = 51 ≠ 0)
৩/ তৃতীয় স্তৰত, ১০২ ক ৫১ ৰে ভাগ কৰিলে: 102 = 51 × 2 + 0 (r = 0)
যিহেতু এই স্তৰত ভাগশেষ শূন্য হৈছে, গতিকে অন্তিম ভাজক ৫১ ই হ’ব ২৫৫ আৰু ৮৬৭ ৰ গৰিষ্ঠ সাধাৰণ গুণনীয়ক (HCF)। অতএব, HCF(867, 255) = 51।
প্ৰশ্ন ২: সংখ্যা প্ৰণালী (দশমিক আৰু বাইনাৰী) ৰ ধাৰণা সৱিস্তৰে ব্যাখ্যা কৰা। ভগ্নাংশযুক্ত দশমিক সংখ্যা (27.625)10 ক বাইনাৰী সংখ্যালে ৰূপান্তৰ কৰাৰ পদ্ধতি দেখুওৱা।
উত্তৰ: সংখ্যা প্ৰণালী: গণিতত সংখ্যা প্ৰকাশ কৰাৰ পদ্ধতিকে সংখ্যা প্ৰণালী বোলা হয়। (১) দশমিক সংখ্যা প্ৰণালী: ইয়াত ভূমি ১০ আৰু ১০ টা চিহ্ন (০-৯) ব্যৱহাৰ হয়। (২) বাইনাৰী সংখ্যা প্ৰণালী: কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানৰ আধাৰ এই প্ৰণালীত ভূমি ২ আৰু কেৱল দুটা অংক (০ আৰু ১) ব্যৱহাৰ হয়।
গাণিতিক ৰূপান্তৰ: (27.625)10 ক বাইনাৰীলৈ:
অখণ্ড অংশ (২৭) ৰ ৰূপান্তৰ: 27÷2=13 (ভাগশেষ ১), 13÷2=6 (ভাগশেষ ১), 6÷2=3 (ভাগশেষ ০), 3÷2=1 (ভাগশেষ ১), 1÷2=0 (ভাগশেষ ১)। তলৰ পৰা সজালে: (27)10 = (11011)2।
ভগ্নাংশ অংশ (০.৬২৫) ৰ ৰূপান্তৰ: 0.625 × 2 = 1.250 (অখণ্ড অংশ ১), 0.250 × 2 = 0.500 (অখণ্ড অংশ ০), 0.500 × 2 = 1.000 (অখণ্ড অংশ ১)। ওপৰৰ পৰা ল’লে: (0.625)10 = (0.101)2।
দুয়ো অংশ একত্ৰিত কৰিলে: (27.625)10 = (11011.101)2।
প্ৰশ্ন ৩: লগাৰিথমৰ আটাইকেইটা মূল ধৰ্ম আৰু নিয়ম প্ৰমাণসহ বৰ্ণনা কৰা।
উত্তৰ: লগাৰিথম হ’ল সূচকৰ বিপৰীত ক্ৰিয়া। যদি by = x (b > 0, b ≠ 1, x > 0), তেন্তে logb(x) = y।
১. গুণফলৰ নিয়ম (Product Rule): logb(m • n) = logb(m) + logb(n)
প্ৰমাণ: logb(m)=x ⇒ bx=m, logb(n)=y ⇒ by=n। অতএব, m • n = bx • by = bx+y ⇒ logb(m • n) = x + y = logb(m) + logb(n)।
২. ভাগফলৰ নিয়ম (Quotient Rule): logb(m/n) = logb(m) - logb(n)
প্ৰমাণ: m/n = bx/by = bx-y ⇒ logb(m/n) = x - y = logb(m) - logb(n)।
৩. সূচকীয় শক্তিৰ নিয়ম (Power Rule): logb(mp) = p • logb(m)
৪. বিশেষ ধৰ্মসমূহ: logb(1) = 0 (b0 = 1) আৰু logb(b) = 1 (b1 = b)।
প্ৰশ্ন ৪: মৌলিক সংখ্যা চিনাক্তকৰণ পদ্ধতি বিস্তাৰিতভাৱে বুজাই লিখা। ৩৭৭ সংখ্যাটো মৌলিক নে যৌগিক পৰীক্ষা কৰি সিদ্ধান্ত দিয়া।
উত্তৰ: পৰীক্ষা পদ্ধতি: এটা দিয়া ধনাংক সংখ্যা N মৌলিক নে যৌগিক তাক জানিবলৈ: (১) √N ৰ মান উলিওৱা হয়। (২) √N তকৈ সৰু বা সমান সকলো মৌলিক সংখ্যা সংগ্ৰহ কৰা হয়। (৩) যদি ইয়াৰ কোনো এটা মৌলিক সংখ্যাৰেও N বিভাজ্য নহয়, তেন্তে N মৌলিক সংখ্যা, অন্যথা যৌগিক সংখ্যা।
৩৭৭ সংখ্যাটোৰ পৰীক্ষা:
√377 ≈ 19.41। ১৯ লৈকে থকা মৌলিক সংখ্যাসমূহ হ’ল: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯।
বিভাজ্যতা চালি চালে: ২, ৩, ৫, ৭, ১১ ৰে বিভাজ্য নহয়। কিন্তু 377 ÷ 13 = 29 (ভাগশেষ ০)।
যিহেতু ৩৭৭ সংখ্যাটো ১৩ ৰে সম্পূৰ্ণভাৱে বিভাজ্য, সেয়েহে ৩৭৭ এটা যৌগিক সংখ্যা (মৌলিক সংখ্যা নহয়)।
প্ৰশ্ন ৫: সূচকৰ ধাৰণা আৰু ইয়াৰ মৌলিক নিয়মসমূহ বৰ্ণনা কৰা। তলৰ ৰাশিটো সৰল কৰা: (2n+4 - 2 • 2n) / (2 • 2n+3)
উত্তৰ: সূচক (Indices): গণিতত যেতিয়া এটা সংখ্যা a ক নিজৰ লগতে ক্ৰমান্বয়ে n বাৰ পূৰণ কৰা হয়, তাক an বুলি লিখা হয়। নিয়মসমূহ: am•an=am+n, am/an=am-n, (am)n=am•n, a-n=1/an, a0=1।
গাণিতিক সমস্যাৰ সমাধান:
লব = 2n+4 - 2 • 2n = 2n • 24 - 2n • 2 = 2n(16 - 2) = 2n • 14
হৰ = 2 • 2n+3 = 2n+4 = 2n • 24 = 2n • 16
উত্তৰ: সৰলীকৃত মান হ’ল 7/8।
১. অতি চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Very Short Questions & Answers - 1 Mark Each)
প্ৰশ্ন ১: বিভাজন এলগৰিদম (Division Algorithm) অনুসৰি যিকোনো দুটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা a আৰু b ৰ সম্পৰ্কটো কি?
উত্তৰ: a = bq + r, য’ত 0 ≤ r < b (q হ’ল ভাগফল আৰু r হ’ল ভাগশেষ)।
প্ৰশ্ন ২: কি চৰ্তত এটা সংখ্যা ৪ ৰে সম্পূৰ্ণৰূপে বিভাজ্য হয়?
উত্তৰ: সংখ্যাটোৰ শেষৰ দুটা অংকৰে (একক আৰু দশকৰ স্থান) গঠিত সংখ্যাটো ৪ ৰে বিভাজ্য হ’লে সমগ্ৰ সংখ্যাটো ৪ ৰে বিভাজ্য হয়।
প্ৰশ্ন ৩: ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যাটো (Prime Number) কি?
উত্তৰ: ২ (দুই)।
প্ৰশ্ন ৪: বাইনাৰী বা দ্বৈত সংখ্যা প্ৰণালীত (Binary Number System) ব্যৱহৃত মৌলিক অংক দুটা কি কি?
উত্তৰ: ০ আৰু ১।
প্ৰশ্ন ৫: দশমিক সংখ্যা প্ৰণালীৰ (Decimal System) ভূমি বা বেছ (Base) কিমান?
উত্তৰ: ১০ (দহ)।
প্ৰশ্ন ৬: যিকোনো অশূন্য সংখ্যা a ৰ বাবে a0 ৰ মান কিমান?
উত্তৰ: ১ (এক)।
প্ৰশ্ন ৭: লগাৰিথমৰ গুণফলৰ সূত্ৰ অনুসৰি logb(m • n) ক কিদৰে লিখা হয়?
উত্তৰ: logb(m) + logb(n)।
প্ৰশ্ন ৮: loga(1) ৰ মান কিমান?
উত্তৰ: ০ (শূন্য)।
প্ৰশ্ন ৯: এন্টিলগাৰিথম (Antilogarithm) বুলিলে কি বুজা?
উত্তৰ: এন্টিলগাৰিথম হ’ল লগাৰিথমিক ক্ৰিয়াৰ বিপৰীত ফল; অৰ্থাৎ যদি logb(x) = y হয়, তেন্তে antilogb(y) = x।
প্ৰশ্ন ১০: বাইনাৰী সংখ্যা (101)2 ৰ দশমিক মান (Decimal Value) কিমান?
উত্তৰ: ৫ (পাঁচ)।
প্ৰশ্ন ১১: সূচকৰ নিয়ম অনুসৰি (am)n ৰ মান কি হ'ব?
উত্তৰ: am • n।
প্ৰশ্ন ১২: ৩ ৰে বিভাজ্যতা পৰীক্ষাৰ মূল নিয়মটো কি?
উত্তৰ: সংখ্যাটোৰ অংকসমূহৰ যোগফল ৩ ৰে বিভাজ্য হ’ব লাগিব।
প্ৰশ্ন ১৩: কোনো সংখ্যা p মৌলিক হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰিবলৈ আমি কিমানলৈকে থকা মৌলিক সংখ্যাৰে ভাগ কৰি চাব লাগে?
উত্তৰ: √p লৈকে (বা √p ৰ সমান আৰু সৰু মৌলিক সংখ্যাসমূহৰে)।
প্ৰশ্ন ১৪: স্বাভাৱিক লগাৰিথমৰ (Natural Logarithm) বেছ (Base) কি ব্যৱহাৰ কৰা হয়?
উত্তৰ: ইৰাস্যনেল ধ্ৰুৱক e (e ≈ 2.718)।
প্ৰশ্ন ১৫: সূচকীয় ৰূপ by = x ক লগাৰিথমিক ৰূপত কেনেকৈ প্ৰকাশ কৰা হয়?
উত্তৰ: logb(x) = y।
২. চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Short Answer Questions - 2 Marks Each)
প্ৰশ্ন ১: ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা (Euclid's Division Lemma) কি?
উত্তৰ: যিকোনো দুটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা a আৰু b ৰ বাবে এনে একক অখণ্ড সংখ্যা q আৰু r বিদ্যমান, যাত a = bq + r আৰু 0 ≤ r < b হয়। ইয়াত a ক ভাজ্য, b ক ভাজক, q ক ভাগফল আৰু r ক ভাগশেষ বোলা হয়।
প্ৰশ্ন ২: ৯ আৰু ১১ ৰে বিভাজ্যতাৰ নিয়ম দুটা বৰ্ণনা কৰা।
উত্তৰ: (১) ৯ ৰে বিভাজ্যতা: সংখ্যা এটাৰ সকলো অংকৰ যোগফল ৯ ৰে বিভাজ্য হ’লে সমগ্ৰ সংখ্যাটো ৯ ৰে বিভাজ্য হয়। (২) ১১ ৰে বিভাজ্যতা: অযুচ্ছ আৰু যুগ্ম স্থানৰ অংকসমূহৰ যোগফলৰ পাৰ্থক্য ০ বা ১১ ৰ গুণিতক হ’লে সংখ্যাটো ১১ ৰে বিভাজ্য হয়।
প্ৰশ্ন ৩: এটা সংখ্যা N মৌলিক হয় নে নহয় কিদৰে পৰীক্ষা কৰিবা?
উত্তৰ: সংখ্যা N মৌলিক হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰিবলৈ, প্ৰথমে √N ৰ মান নিৰ্ধাৰণ কৰা হয়। তাৰ পিছত √N তকৈ সৰু বা সমান সকলো মৌলিক সংখ্যাৰে N ক ভাগ কৰা হয়। যদি ইয়াৰ কোনো এটা মৌলিক সংখ্যাৰেও N বিভাজ্য নহয়, তেন্তে N এটা মৌলিক সংখ্যা।
প্ৰশ্ন ৪: দশমিক সংখ্যা প্ৰণালী আৰু বাইনাৰী সংখ্যা প্ৰণালীৰ মুখ্য পাৰ্থক্য লিখা।
উত্তৰ: দশমিক প্ৰণালীৰ ভূমি (Base) ১০ আৰু ইয়াত ১০ টা অংক (০-৯) ব্যৱহাৰ হয়। আনহাতে বাইনাৰী প্ৰণালীৰ ভূমি ২ আৰু ইয়াত কেৱল দুটা অংক (০ আৰু ১) ব্যৱহাৰ হয়। গণনাত দশমিক প্ৰণালী মানুহে আৰু বাইনাৰী প্ৰণালী কম্পিউটাৰে ব্যৱহাৰ কৰে।
প্ৰশ্ন ৫: দশমিক সংখ্যা (25)10 ক বাইনাৰী সংখ্যা প্ৰণালীলৈ ৰূপান্তৰ কৰা।
উত্তৰ: ২৫ ক ২ ৰে ক্ৰমান্বয়ে ভাগ কৰি ভাগশেষ সংগ্ৰহ কৰিলে: 25÷2=12 (ভাগশেষ ১), 12÷2=6 (ভাগশেষ ০), 6÷2=3 (ভাগশেষ ০), 3÷2=1 (ভাগশেষ ১), 1÷2=0 (ভাগশেষ ১)। তলৰ পৰা ওপৰলৈ সজালে পাওঁ: (25)10 = (11001)2।
প্ৰশ্ন ৬: বাইনাৰী সংখ্যা (1101)2 ক দশমিক সংখ্যা প্ৰণালীলৈ ৰূপান্তৰ কৰা।
উত্তৰ: (1101)2 = (1 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (1 × 20) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13। অতএব, (1101)2 = (13)10।
প্ৰশ্ন ৭: সূচকৰ মৌলিক সূত্ৰসমূহ (am • an আৰু am / an) প্ৰকাশ কৰা।
উত্তৰ: একে ভূমি থকা সূচকৰ ক্ৰিয়া নিয়মসমূহ হ’ল: (১) গুণফলৰ নিয়ম: am • an = am+n (পূৰণ কৰোঁতে সূচকসমূহ যোগ হয়)। (২) ভাগফলৰ নিয়ম: am / an = am-n (ভাগ কৰোঁতে সূচকসমূহ বিয়োগ হয়)।
প্ৰশ্ন ৮: লগাৰিথমৰ ভূমি পৰিৱৰ্তনৰ সূত্ৰটো (Change of Base Formula) লিখা।
উত্তৰ: লগাৰিথমৰ ভূমি পৰিৱৰ্তনৰ নিয়ম অনুসৰি, যিকোনো ধনাত্মক ধ্ৰুৱক a, b, c (a, b, c ≠ 1) ৰ বাবে:
এই সূত্ৰটোৰ সহায়ত বিভিন্ন ভূমি থকা লগাৰিথমক সুবিধাজনক ভূমিলৈ ৰূপান্তৰ কৰিব পাৰি।
প্ৰশ্ন ৯: লগাৰিথমিক ভাগফল সূত্ৰ logb(m/n) = logb(m) - logb(n) প্ৰমাণ কৰা।
উত্তৰ: ধৰা হ’ল logb(m) = x ⇒ bx = m আৰু logb(n) = y ⇒ by = n। এতিয়া, m/n = bx/by = bx-y। দুয়োফালে লগাৰিথম ল'লে পাওঁ: logb(m/n) = x - y = logb(m) - logb(n)। [প্ৰমাণিত]
প্ৰশ্ন ১০: এন্টিলগাৰিথম কি? এটা উদাহৰণৰ সহায়ত বুজাই লিখা।
উত্তৰ: লগাৰিথমৰ বিপৰীত ক্ৰিয়াটোক এন্টিলগাৰিথম বোলা হয়। যদি কোনো সংখ্যা x ৰ লগাৰিথমৰ মান y হয় (log10x = y), তেন্তে y ৰ এন্টিলগাৰিথম হ’ব x (antilog10(y) = x = 10y)। উদাহৰণস্বৰূপে, যিহেতু log10(100) = 2, সেয়েহে antilog10(2) = 100।
প্ৰশ্ন ১১: সূচকৰ ঋণাত্মক মান a-n = 1 / an কিয় হয় ব্যাখ্যা কৰা।
উত্তৰ: সূচকৰ ভাগফল সূত্ৰ অনুসৰি, am/an = am-n। যদি m = 0 ধৰোঁ, তেন্তে পাওঁ: a0/an = a0-n = a-n। যিহেতু যিকোনো অশূন্য সংখ্যাৰ বাবে a0 = 1, সেয়েহে 1/an = a-n। অৰ্থাৎ ঋণাত্মক সূচকে প্ৰতিলোম মানক সূচায়।
প্ৰশ্ন ১২: সাধারণ লগাৰিথম (Common Logarithm) আৰু প্ৰাকৃতিক লগাৰিথমৰ (Natural Logarithm) পাৰ্থক্য কি?
উত্তৰ: সাধাৰণ লগাৰিথমত ভূমি ১০ ব্যৱহাৰ কৰা হয় (যেনে log10 x), যি গাণিতিক গণনা আৰু ব্যৱহাৰিক তালিকাৰ বাবে সুবিধাজনক। আনহাতে প্ৰাকৃতিক লগাৰিথমত ভূমি e (e ≈ 2.71828) ব্যৱহাৰ কৰা হয় (যেনে ln x বা loge x), যি উচ্চতৰ গণিত আৰু কলনগণিতত (Calculus) আৱশ্যকীয়।
প্ৰশ্ন ১৩: মান নিৰূপণ কৰা: log2(32)।
উত্তৰ: ধৰা হ’ল log2(32) = x। লগাৰিথমৰ সূচকীয় ৰূপ অনুসৰি: 2x = 32। যিহেতু 32 = 25, সেয়েহে 2x = 25 ⇒ x = 5। অতএব, log2(32) = 5।
প্ৰশ্ন ১৪: ১০০০ ক ১০ ৰ সূচক হিচাপে আৰু লগাৰিথমীয় ৰূপত প্ৰকাশ কৰা।
উত্তৰ: (১) সূচকীয় ৰূপ: 1000 = 103 (১০ ৰ ঘনফল)। (২) লগাৰিথমীয় ৰূপ: log10(1000) = 3 (১০ ভূমিৰ সাপেক্ষে ১০০০ ৰ লগাৰিথম ৩)।
প্ৰশ্ন ১৫: সূচকৰ ঘাটাংক সূত্ৰ logb(mp) = p logb(m) চমুকৈ ব্যাখ্যা কৰা।
উত্তৰ: ধৰা হ’ল logb(m) = x ⇒ bx = m। দুয়োফালে p শক্তি ল’লে: (bx)p = mp ⇒ bp•x = mp। ইাক লগাৰিথমীয় ৰূপত প্ৰকাশ কৰিলে: logb(mp) = p • x = p logb(m)। ই লগাৰিথমত শক্তি সলনিৰ নিয়ম নিৰ্ধাৰণ কৰে।
৩. দীঘল প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Long Answer Questions - 5 Marks Each)
প্ৰশ্ন ১: বিভাজন এলগৰিদম আলোচনা কৰা আৰু ইয়াক ব্যৱহাৰ কৰি গ.সা.গু. (HCF) নিৰ্ণয় কৰাৰ পদ্ধতি পদ্ধতিগতভাৱে উদাহৰণসহ বুজাই লিখা।
উত্তৰ: বিভাজন এলগৰিদম (Division Algorithm): অখণ্ড সংখ্যাৰ পাটীগণিতত বিভাজন এলগৰিদম এক মূল ভিত্তি। এই সূত্ৰ অনুসৰি, যিকোনো দুটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা a আৰু b (a > b) ৰ বাবে এনে অনন্য অখণ্ড সংখ্যা q (ভাগফল) আৰু r (ভাগশেষ) পোৱা যায়, যাত:
ইউক্লিডৰ এলগৰিদমৰে গ.সা.গু. নিৰ্ণয় পদ্ধতি:
উদাহৰণ: ২৫৫ আৰু ৮৬৭ ৰ গ.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰোঁ।
১/ প্ৰথম স্তৰত, ৮৬৭ ক ২৫৫ ৰে ভাগ কৰিলে: 867 = 255 × 3 + 102 (r = 102 ≠ 0)
২/ দ্বিতীয় স্তৰত, ২৫৫ ক ১০২ ৰে ভাগ কৰিলে: 255 = 102 × 2 + 51 (r = 51 ≠ 0)
৩/ তৃতীয় স্তৰত, ১০২ ক ৫১ ৰে ভাগ কৰিলে: 102 = 51 × 2 + 0 (r = 0)
যিহেতু এই স্তৰত ভাগশেষ শূন্য হৈছে, গতিকে অন্তিম ভাজক ৫১ ই হ’ব ২৫৫ আৰু ৮৬৭ ৰ গৰিষ্ঠ সাধাৰণ গুণনীয়ক (HCF)। অতএব, HCF(867, 255) = 51।
প্ৰশ্ন ২: সংখ্যা প্ৰণালী (দশমিক আৰু বাইনাৰী) ৰ ধাৰণা সৱিস্তৰে ব্যাখ্যা কৰা। ভগ্নাংশযুক্ত দশমিক সংখ্যা (27.625)10 ক বাইনাৰী সংখ্যালে ৰূপান্তৰ কৰাৰ পদ্ধতি দেখুওৱা।
উত্তৰ: সংখ্যা প্ৰণালী: গণিতত সংখ্যা প্ৰকাশ কৰাৰ পদ্ধতিকে সংখ্যা প্ৰণালী বোলা হয়। (১) দশমিক সংখ্যা প্ৰণালী: ইয়াত ভূমি ১০ আৰু ১০ টা চিহ্ন (০-৯) ব্যৱহাৰ হয়। (২) বাইনাৰী সংখ্যা প্ৰণালী: কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানৰ আধাৰ এই প্ৰণালীত ভূমি ২ আৰু কেৱল দুটা অংক (০ আৰু ১) ব্যৱহাৰ হয়।
গাণিতিক ৰূপান্তৰ: (27.625)10 ক বাইনাৰীলৈ:
অখণ্ড অংশ (২৭) ৰ ৰূপান্তৰ: 27÷2=13 (ভাগশেষ ১), 13÷2=6 (ভাগশেষ ১), 6÷2=3 (ভাগশেষ ০), 3÷2=1 (ভাগশেষ ১), 1÷2=0 (ভাগশেষ ১)। তলৰ পৰা সজালে: (27)10 = (11011)2।
ভগ্নাংশ অংশ (০.৬২৫) ৰ ৰূপান্তৰ: 0.625 × 2 = 1.250 (অখণ্ড অংশ ১), 0.250 × 2 = 0.500 (অখণ্ড অংশ ০), 0.500 × 2 = 1.000 (অখণ্ড অংশ ১)। ওপৰৰ পৰা ল’লে: (0.625)10 = (0.101)2।
দুয়ো অংশ একত্ৰিত কৰিলে: (27.625)10 = (11011.101)2।
প্ৰশ্ন ৩: লগাৰিথমৰ আটাইকেইটা মূল ধৰ্ম আৰু নিয়ম প্ৰমাণসহ বৰ্ণনা কৰা।
উত্তৰ: লগাৰিথম হ’ল সূচকৰ বিপৰীত ক্ৰিয়া। যদি by = x (b > 0, b ≠ 1, x > 0), তেন্তে logb(x) = y।
১. গুণফলৰ নিয়ম (Product Rule): logb(m • n) = logb(m) + logb(n)
প্ৰমাণ: logb(m)=x ⇒ bx=m, logb(n)=y ⇒ by=n। অতএব, m • n = bx • by = bx+y ⇒ logb(m • n) = x + y = logb(m) + logb(n)।
২. ভাগফলৰ নিয়ম (Quotient Rule): logb(m/n) = logb(m) - logb(n)
প্ৰমাণ: m/n = bx/by = bx-y ⇒ logb(m/n) = x - y = logb(m) - logb(n)।
৩. সূচকীয় শক্তিৰ নিয়ম (Power Rule): logb(mp) = p • logb(m)
৪. বিশেষ ধৰ্মসমূহ: logb(1) = 0 (b0 = 1) আৰু logb(b) = 1 (b1 = b)।
প্ৰশ্ন ৪: মৌলিক সংখ্যা চিনাক্তকৰণ পদ্ধতি বিস্তাৰিতভাৱে বুজাই লিখা। ৩৭৭ সংখ্যাটো মৌলিক নে যৌগিক পৰীক্ষা কৰি সিদ্ধান্ত দিয়া।
উত্তৰ: পৰীক্ষা পদ্ধতি: এটা দিয়া ধনাংক সংখ্যা N মৌলিক নে যৌগিক তাক জানিবলৈ: (১) √N ৰ মান উলিওৱা হয়। (২) √N তকৈ সৰু বা সমান সকলো মৌলিক সংখ্যা সংগ্ৰহ কৰা হয়। (৩) যদি ইয়াৰ কোনো এটা মৌলিক সংখ্যাৰেও N বিভাজ্য নহয়, তেন্তে N মৌলিক সংখ্যা, অন্যথা যৌগিক সংখ্যা।
৩৭৭ সংখ্যাটোৰ পৰীক্ষা:
√377 ≈ 19.41। ১৯ লৈকে থকা মৌলিক সংখ্যাসমূহ হ’ল: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯।
বিভাজ্যতা চালি চালে: ২, ৩, ৫, ৭, ১১ ৰে বিভাজ্য নহয়। কিন্তু 377 ÷ 13 = 29 (ভাগশেষ ০)।
যিহেতু ৩৭৭ সংখ্যাটো ১৩ ৰে সম্পূৰ্ণভাৱে বিভাজ্য, সেয়েহে ৩৭৭ এটা যৌগিক সংখ্যা (মৌলিক সংখ্যা নহয়)।
প্ৰশ্ন ৫: সূচকৰ ধাৰণা আৰু ইয়াৰ মৌলিক নিয়মসমূহ বৰ্ণনা কৰা। তলৰ ৰাশিটো সৰল কৰা: (2n+4 - 2 • 2n) / (2 • 2n+3)
উত্তৰ: সূচক (Indices): গণিতত যেতিয়া এটা সংখ্যা a ক নিজৰ লগতে ক্ৰমান্বয়ে n বাৰ পূৰণ কৰা হয়, তাক an বুলি লিখা হয়। নিয়মসমূহ: am•an=am+n, am/an=am-n, (am)n=am•n, a-n=1/an, a0=1।
গাণিতিক সমস্যাৰ সমাধান:
লব = 2n+4 - 2 • 2n = 2n • 24 - 2n • 2 = 2n(16 - 2) = 2n • 14
হৰ = 2 • 2n+3 = 2n+4 = 2n • 24 = 2n • 16
উত্তৰ: সৰলীকৃত মান হ’ল 7/8।
Numbers, Number Systems, Indices and Logarithms
Numbers, Number Systems, Indices and Logarithms
Part A: Very Short Answer Questions (15 Questions — 1 Mark Each)
1. What is the Division Algorithm?
Answer: For integers a and b, where b > 0, there exist unique integers q and r such that a = bq + r, 0 ≤ r < b.
2. What is a prime number?
Answer: A prime number is a natural number greater than 1 having exactly two positive divisors: 1 and the number itself.
3. Is 1 a prime number?
Answer: No. The number 1 is neither prime nor composite because it has only one positive divisor.
4. State the divisibility test for 2.
Answer: A number is divisible by 2 if its last digit is even, i.e., 0, 2, 4, 6, or 8.
5. What is the base of the decimal number system?
Answer: The decimal number system has base 10 and uses the ten digits 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
6. What is the base of the binary number system?
Answer: The binary number system has base 2 and uses only two digits, 0 and 1.
7. Convert 1012 into decimal form.
Answer: 1012 = 1(22) + 0(21) + 1(20) = 4 + 0 + 1 = 5.
8. What is an index or exponent?
Answer: An index or exponent indicates how many times a number is multiplied by itself. For example, in an, n is the index or exponent.
9. What is a logarithm?
Answer: If ax = N, (a > 0, a ≠ 1), then x = logaN. Thus, a logarithm is the exponent to which a given base must be raised to obtain a number.
10. What is a common logarithm?
Answer: A logarithm with base 10 is called a common logarithm and is written as log10N or simply log N.
11. What is an antilogarithm?
Answer: The antilogarithm of x to base a is the number N for which logaN = x. Therefore, antilogax = ax.
12. State the product law of logarithms.
Answer: For positive M, N and valid base a, loga(MN) = logaM + logaN.
13. State the quotient law of logarithms.
Answer: loga(M/N) = logaM - logaN, where M > 0, N > 0, a > 0, a ≠ 1.
14. What is the value of loga1?
Answer: loga1 = 0 because a0 = 1, for every valid logarithmic base a > 0, a ≠ 1.
15. What is logaa?
Answer: logaa = 1 because a1 = a.
Part B: Short Answer Questions (15 Questions — 2 Marks Each)
1. Explain the Division Algorithm with an example.
Answer: The Division Algorithm states that for integers a and b, with b > 0, there are unique integers q and r satisfying a = bq + r, 0 ≤ r < b. For example, 23 = 5(4) + 3. Here, 23 is the dividend, 5 the divisor, 4 the quotient, and 3 the remainder.
2. What is meant by a divisibility test?
Answer: A divisibility test is a simple rule used to determine whether one integer is exactly divisible by another without performing complete division. For example, an integer is divisible by 5 if its last digit is 0 or 5. Similarly, divisibility by 2 depends on the last digit being even.
3. State the divisibility tests for 3 and 9.
Answer: A number is divisible by 3 if the sum of its digits is divisible by 3. It is divisible by 9 if the sum of its digits is divisible by 9. For example, 729 has digit sum 18, so it is divisible by both 3 and 9.
4. How can a prime number be tested?
Answer: To test whether an integer n > 1 is prime, it is sufficient to check whether it is divisible by any prime number not exceeding √n. If no such prime divides n, then n is prime. This method reduces unnecessary division by larger numbers.
5. Distinguish between prime and composite numbers.
Answer: A prime number greater than 1 has exactly two positive divisors, 1 and itself. A composite number greater than 1 has more than two positive divisors. For example, 13 is prime, whereas 12 is composite because its positive divisors include 1, 2, 3, 4, 6 and 12.
6. Explain the decimal number system.
Answer: The decimal system is a positional number system with base 10. It uses ten digits, 0 to 9. The value of a digit depends on its position and corresponding power of 10. For example:
7. Explain the binary number system.
Answer: The binary system is a positional number system with base 2. It uses only 0 and 1. Each position represents a power of 2. For example:
8. Convert 2510 into binary.
Answer: Repeated division by 2 gives: 25 ÷ 2 = 12 remainder 1, 12 ÷ 2 = 6 remainder 0, 6 ÷ 2 = 3 remainder 0, 3 ÷ 2 = 1 remainder 1, 1 ÷ 2 = 0 remainder 1.
Reading remainders upward: 2510 = 110012.
9. Convert 101102 into decimal.
Answer: Using positional values: 101102 = 1(24) + 0(23) + 1(22) + 1(21) + 0(20) = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 2210.
Thus, 101102 represents 22 in the decimal system.
10. State any four laws of indices.
Answer: For suitable non-zero values of a: (1) am • an = am+n, (2) am / an = am-n, (3) (am)n = am•n, (4) a0 = 1. These laws provide convenient methods for simplifying expressions involving powers and exponents.
11. Define logarithm and state its basic condition.
Answer: If ax = N, then x = logaN. Here, the base must satisfy a > 0 and a ≠ 1, while the argument must satisfy N > 0. Thus, logarithms are the inverse operation of exponentiation.
12. Explain the relation between logarithms and indices.
Answer: Logarithms and indices are inverse mathematical operations. If ax = N, then logaN = x. For example, 25 = 32 is equivalent to log232 = 5. Thus, a logarithm gives the exponent required to produce a specified number from a given base.
13. State the power law of logarithms with an example.
Answer: The power law states: loga(Mn) = n logaM. For example, log2(82) = 2 log28 = 2(3) = 6. The law is valid when the logarithmic expressions are defined and is useful for simplifying powers.
14. What is change of base formula?
Answer: The change of base formula allows a logarithm with one base to be expressed using another base:
15. Explain antilogarithm with an example.
Answer: Antilogarithm is the inverse operation of taking a logarithm. If logaN = x, then N = ax. Therefore, antilog25 = 25 = 32. For common logarithms, the antilogarithm of x is 10x.
Part C: Long Answer Questions (5 Questions — 5 Marks Each)
1. Explain the Division Algorithm and its significance with suitable examples.
Answer: The Division Algorithm is a fundamental principle concerning division of integers. It states that for any integer a and any positive integer b, there exist unique integers q and r such that:
Here, a is called the dividend, b the divisor, q the quotient, and r the remainder. For example, when 37 is divided by 5, 37 = 5(7) + 2. Thus, q = 7 and r = 2, and the condition 0 ≤ 2 < 5 is satisfied. Another example is 48 = 6(8) + 0. Here the remainder is zero, showing that 48 is exactly divisible by 6.
The Division Algorithm is important because it provides a precise mathematical description of division and forms the basis of several elementary number-theoretic procedures. It is also useful for determining remainders and establishing divisibility. When the remainder r = 0, b divides a exactly. The quotient and remainder are unique, meaning that for fixed a and positive b, no other pair of integers can satisfy the same conditions.
2. Explain divisibility tests and describe important tests for common integers.
Answer: A divisibility test is a rule that determines whether an integer is exactly divisible by another integer without carrying out the complete division. Such tests make numerical calculations quicker and easier.
Important divisibility rules include:
- Divisibility by 2: The last digit must be 0, 2, 4, 6, or 8.
- Divisibility by 3: The sum of the digits must be divisible by 3.
- Divisibility by 5: The last digit must be 0 or 5.
- Divisibility by 9: The sum of the digits must be divisible by 9.
- Divisibility by 10: The last digit must be 0.
- Divisibility by 4: The number formed by its last two digits must be divisible by 4.
- Divisibility by 8: The number formed by its last three digits must be divisible by 8.
- Divisibility by 6: The number must be divisible by both 2 and 3.
- Divisibility by 11: The difference between the sums of alternate digits must be either 0 or a multiple of 11.
For example, consider 738. Its digit sum is 7 + 3 + 8 = 18. Since 18 is divisible by 3 and 9, 738 is divisible by both 3 and 9. It is also divisible by 2 because its last digit is even. These tests are useful for rapid examination of integers.
3. Explain prime numbers and describe a systematic method for testing whether a number is prime.
Answer: A prime number is a natural number greater than 1 that has exactly two positive divisors: 1 and the number itself. Examples include 2, 3, 5, 7, 11, and 13. The number 2 is the only even prime number. A number greater than 1 that is not prime is called composite.
To test whether a number n is prime, it is sufficient to examine possible prime divisors not greater than √n. If none of these primes divides n, then n is prime.
For example, consider 97. We have √97 ≈ 9.85. The prime numbers not exceeding 9.85 are 2, 3, 5, and 7. We check whether 97 is divisible by any of these: it is not divisible by 2 because it is odd, not by 3 because 9 + 7 = 16, not by 5 because its last digit is neither 0 nor 5, and not by 7 (97 ÷ 7 = 13 remainder 6). Therefore, 97 is prime.
The number 1 is neither prime nor composite because it has only one positive divisor. Prime numbers are fundamental in number theory and are the basic building blocks of positive integers under prime factorisation.
4. Explain the decimal and binary number systems and describe conversion between them.
Answer: The decimal number system is a positional number system with base 10 using digits 0 through 9. For example, 347 = 3(102) + 4(101) + 7(100). The binary number system is a positional number system with base 2 using digits 0 and 1. For example, 10112 = 1(23) + 0(22) + 1(21) + 1(20) = 8 + 0 + 2 + 1 = 1110.
To convert a decimal integer into binary, repeatedly divide the number by 2 and record the remainders. Reading the remainders from bottom to top gives the binary representation. For example, for 13: 13÷2 = 6 r 1, 6÷2 = 3 r 0, 3÷2 = 1 r 1, 1÷2 = 0 r 1. Therefore, 1310 = 11012.
Conversely, to convert binary to decimal, multiply each binary digit by the corresponding power of 2 and add the results. These positional systems are mathematically equivalent representations of numbers using different bases.
5. Explain indices and logarithms, including their important laws and the concept of antilogarithm.
Answer: An index or exponent indicates the power to which a number is raised (e.g., in am, m is the index). Important laws of indices include: am • an = am+n, am / an = am-n, (am)n = am•n, a0 = 1, and a-n = 1 / an.
A logarithm is the inverse of exponentiation. If ax = N, then logaN = x (a > 0, a ≠ 1, N > 0). The principal laws of logarithms are:
1. loga(MN) = logaM + logaN
2. loga(M/N) = logaM - logaN
3. loga(Mn) = n logaM
Key identity results include loga1 = 0 and logaa = 1. The change of base formula is logaN = logbN / logba.
An antilogarithm reverses the logarithmic operation: if logaN = x, then N = ax (i.e., antilogax = ax). For common logarithms (base 10), antilog10x = 10x.
Part A: Very Short Answer Questions (15 Questions — 1 Mark Each)
1. What is the Division Algorithm?
Answer: For integers a and b, where b > 0, there exist unique integers q and r such that a = bq + r, 0 ≤ r < b.
2. What is a prime number?
Answer: A prime number is a natural number greater than 1 having exactly two positive divisors: 1 and the number itself.
3. Is 1 a prime number?
Answer: No. The number 1 is neither prime nor composite because it has only one positive divisor.
4. State the divisibility test for 2.
Answer: A number is divisible by 2 if its last digit is even, i.e., 0, 2, 4, 6, or 8.
5. What is the base of the decimal number system?
Answer: The decimal number system has base 10 and uses the ten digits 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
6. What is the base of the binary number system?
Answer: The binary number system has base 2 and uses only two digits, 0 and 1.
7. Convert 1012 into decimal form.
Answer: 1012 = 1(22) + 0(21) + 1(20) = 4 + 0 + 1 = 5.
8. What is an index or exponent?
Answer: An index or exponent indicates how many times a number is multiplied by itself. For example, in an, n is the index or exponent.
9. What is a logarithm?
Answer: If ax = N, (a > 0, a ≠ 1), then x = logaN. Thus, a logarithm is the exponent to which a given base must be raised to obtain a number.
10. What is a common logarithm?
Answer: A logarithm with base 10 is called a common logarithm and is written as log10N or simply log N.
11. What is an antilogarithm?
Answer: The antilogarithm of x to base a is the number N for which logaN = x. Therefore, antilogax = ax.
12. State the product law of logarithms.
Answer: For positive M, N and valid base a, loga(MN) = logaM + logaN.
13. State the quotient law of logarithms.
Answer: loga(M/N) = logaM - logaN, where M > 0, N > 0, a > 0, a ≠ 1.
14. What is the value of loga1?
Answer: loga1 = 0 because a0 = 1, for every valid logarithmic base a > 0, a ≠ 1.
15. What is logaa?
Answer: logaa = 1 because a1 = a.
Part B: Short Answer Questions (15 Questions — 2 Marks Each)
1. Explain the Division Algorithm with an example.
Answer: The Division Algorithm states that for integers a and b, with b > 0, there are unique integers q and r satisfying a = bq + r, 0 ≤ r < b. For example, 23 = 5(4) + 3. Here, 23 is the dividend, 5 the divisor, 4 the quotient, and 3 the remainder.
2. What is meant by a divisibility test?
Answer: A divisibility test is a simple rule used to determine whether one integer is exactly divisible by another without performing complete division. For example, an integer is divisible by 5 if its last digit is 0 or 5. Similarly, divisibility by 2 depends on the last digit being even.
3. State the divisibility tests for 3 and 9.
Answer: A number is divisible by 3 if the sum of its digits is divisible by 3. It is divisible by 9 if the sum of its digits is divisible by 9. For example, 729 has digit sum 18, so it is divisible by both 3 and 9.
4. How can a prime number be tested?
Answer: To test whether an integer n > 1 is prime, it is sufficient to check whether it is divisible by any prime number not exceeding √n. If no such prime divides n, then n is prime. This method reduces unnecessary division by larger numbers.
5. Distinguish between prime and composite numbers.
Answer: A prime number greater than 1 has exactly two positive divisors, 1 and itself. A composite number greater than 1 has more than two positive divisors. For example, 13 is prime, whereas 12 is composite because its positive divisors include 1, 2, 3, 4, 6 and 12.
6. Explain the decimal number system.
Answer: The decimal system is a positional number system with base 10. It uses ten digits, 0 to 9. The value of a digit depends on its position and corresponding power of 10. For example:
7. Explain the binary number system.
Answer: The binary system is a positional number system with base 2. It uses only 0 and 1. Each position represents a power of 2. For example:
8. Convert 2510 into binary.
Answer: Repeated division by 2 gives: 25 ÷ 2 = 12 remainder 1, 12 ÷ 2 = 6 remainder 0, 6 ÷ 2 = 3 remainder 0, 3 ÷ 2 = 1 remainder 1, 1 ÷ 2 = 0 remainder 1.
Reading remainders upward: 2510 = 110012.
9. Convert 101102 into decimal.
Answer: Using positional values: 101102 = 1(24) + 0(23) + 1(22) + 1(21) + 0(20) = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 2210.
Thus, 101102 represents 22 in the decimal system.
10. State any four laws of indices.
Answer: For suitable non-zero values of a: (1) am • an = am+n, (2) am / an = am-n, (3) (am)n = am•n, (4) a0 = 1. These laws provide convenient methods for simplifying expressions involving powers and exponents.
11. Define logarithm and state its basic condition.
Answer: If ax = N, then x = logaN. Here, the base must satisfy a > 0 and a ≠ 1, while the argument must satisfy N > 0. Thus, logarithms are the inverse operation of exponentiation.
12. Explain the relation between logarithms and indices.
Answer: Logarithms and indices are inverse mathematical operations. If ax = N, then logaN = x. For example, 25 = 32 is equivalent to log232 = 5. Thus, a logarithm gives the exponent required to produce a specified number from a given base.
13. State the power law of logarithms with an example.
Answer: The power law states: loga(Mn) = n logaM. For example, log2(82) = 2 log28 = 2(3) = 6. The law is valid when the logarithmic expressions are defined and is useful for simplifying powers.
14. What is change of base formula?
Answer: The change of base formula allows a logarithm with one base to be expressed using another base:
15. Explain antilogarithm with an example.
Answer: Antilogarithm is the inverse operation of taking a logarithm. If logaN = x, then N = ax. Therefore, antilog25 = 25 = 32. For common logarithms, the antilogarithm of x is 10x.
Part C: Long Answer Questions (5 Questions — 5 Marks Each)
1. Explain the Division Algorithm and its significance with suitable examples.
Answer: The Division Algorithm is a fundamental principle concerning division of integers. It states that for any integer a and any positive integer b, there exist unique integers q and r such that:
Here, a is called the dividend, b the divisor, q the quotient, and r the remainder. For example, when 37 is divided by 5, 37 = 5(7) + 2. Thus, q = 7 and r = 2, and the condition 0 ≤ 2 < 5 is satisfied. Another example is 48 = 6(8) + 0. Here the remainder is zero, showing that 48 is exactly divisible by 6.
The Division Algorithm is important because it provides a precise mathematical description of division and forms the basis of several elementary number-theoretic procedures. It is also useful for determining remainders and establishing divisibility. When the remainder r = 0, b divides a exactly. The quotient and remainder are unique, meaning that for fixed a and positive b, no other pair of integers can satisfy the same conditions.
2. Explain divisibility tests and describe important tests for common integers.
Answer: A divisibility test is a rule that determines whether an integer is exactly divisible by another integer without carrying out the complete division. Such tests make numerical calculations quicker and easier.
Important divisibility rules include:
- Divisibility by 2: The last digit must be 0, 2, 4, 6, or 8.
- Divisibility by 3: The sum of the digits must be divisible by 3.
- Divisibility by 5: The last digit must be 0 or 5.
- Divisibility by 9: The sum of the digits must be divisible by 9.
- Divisibility by 10: The last digit must be 0.
- Divisibility by 4: The number formed by its last two digits must be divisible by 4.
- Divisibility by 8: The number formed by its last three digits must be divisible by 8.
- Divisibility by 6: The number must be divisible by both 2 and 3.
- Divisibility by 11: The difference between the sums of alternate digits must be either 0 or a multiple of 11.
For example, consider 738. Its digit sum is 7 + 3 + 8 = 18. Since 18 is divisible by 3 and 9, 738 is divisible by both 3 and 9. It is also divisible by 2 because its last digit is even. These tests are useful for rapid examination of integers.
3. Explain prime numbers and describe a systematic method for testing whether a number is prime.
Answer: A prime number is a natural number greater than 1 that has exactly two positive divisors: 1 and the number itself. Examples include 2, 3, 5, 7, 11, and 13. The number 2 is the only even prime number. A number greater than 1 that is not prime is called composite.
To test whether a number n is prime, it is sufficient to examine possible prime divisors not greater than √n. If none of these primes divides n, then n is prime.
For example, consider 97. We have √97 ≈ 9.85. The prime numbers not exceeding 9.85 are 2, 3, 5, and 7. We check whether 97 is divisible by any of these: it is not divisible by 2 because it is odd, not by 3 because 9 + 7 = 16, not by 5 because its last digit is neither 0 nor 5, and not by 7 (97 ÷ 7 = 13 remainder 6). Therefore, 97 is prime.
The number 1 is neither prime nor composite because it has only one positive divisor. Prime numbers are fundamental in number theory and are the basic building blocks of positive integers under prime factorisation.
4. Explain the decimal and binary number systems and describe conversion between them.
Answer: The decimal number system is a positional number system with base 10 using digits 0 through 9. For example, 347 = 3(102) + 4(101) + 7(100). The binary number system is a positional number system with base 2 using digits 0 and 1. For example, 10112 = 1(23) + 0(22) + 1(21) + 1(20) = 8 + 0 + 2 + 1 = 1110.
To convert a decimal integer into binary, repeatedly divide the number by 2 and record the remainders. Reading the remainders from bottom to top gives the binary representation. For example, for 13: 13÷2 = 6 r 1, 6÷2 = 3 r 0, 3÷2 = 1 r 1, 1÷2 = 0 r 1. Therefore, 1310 = 11012.
Conversely, to convert binary to decimal, multiply each binary digit by the corresponding power of 2 and add the results. These positional systems are mathematically equivalent representations of numbers using different bases.
5. Explain indices and logarithms, including their important laws and the concept of antilogarithm.
Answer: An index or exponent indicates the power to which a number is raised (e.g., in am, m is the index). Important laws of indices include: am • an = am+n, am / an = am-n, (am)n = am•n, a0 = 1, and a-n = 1 / an.
A logarithm is the inverse of exponentiation. If ax = N, then logaN = x (a > 0, a ≠ 1, N > 0). The principal laws of logarithms are:
1. loga(MN) = logaM + logaN
2. loga(M/N) = logaM - logaN
3. loga(Mn) = n logaM
Key identity results include loga1 = 0 and logaa = 1. The change of base formula is logaN = logbN / logba.
An antilogarithm reverses the logarithmic operation: if logaN = x, then N = ax (i.e., antilogax = ax). For common logarithms (base 10), antilog10x = 10x.