Please choose your option, either Assamese medium or English medium
Please choose your option, either Assamese medium or English medium
তথ্য বিশ্লেষণ: গাণিতিক গড় (Arithmetic mean), জ্যামিতিক গড়
তথ্য বিশ্লেষণ: গাণিতিক গড় (Arithmetic mean), জ্যামিতিক গড়
১. অতি চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Very Short Questions & Answers - 1 Mark Each)
প্ৰশ্ন ১: গাণিতিক গড় (Arithmetic Mean) ৰ মান উলিওৱাৰ মূল সূত্ৰটো কি?
উত্তৰ: গাণিতিক গড় (x̄) = ∑x / n, য'ত ∑x হ'ল ৰাশিসমূহৰ যোগফল আৰু n হ'ল মুঠ ৰাশিৰ সংখ্যা।
প্ৰশ্ন ২: জ্যামিতিক গড় (Geometric Mean) নিৰ্ধাৰণ কৰোঁতে কোনো ৰাশিৰ মান শূন্য বা ঋণাত্মক হ'ব পাৰেনে?
উত্তৰ: নোৱাৰে, জ্যামিতিক গড় কেৱল ধনাত্মক অ-শূন্য মানৰ বাবেহে সম্ভৱ।
প্ৰশ্ন ৩: হৰাত্মক গড় (Harmonic Mean) কিহৰ অনুলোম বা প্ৰতিলোম (Reciprocal) ৰ ওপৰত আধাৰিত?
উত্তৰ: ই তথ্যৰ অন্তৰ্ভুক্ত মানসমূহৰ প্ৰতিলোম (Reciprocal) ৰ গাণিতিক গড়ৰ বিপৰীত মান।
প্ৰশ্ন ৪: ধৰা হ'ল তিনিটা গড় AM, GM, আৰু HM; সিহঁতৰ মাজৰ অসমতাৰ সম্পৰ্কটো (Empirical Relation) কি?
উত্তৰ: AM ≥ GM ≥ HM।
প্ৰশ্ন ৫: মধ্যমা (Median) এ তথ্যৰ গোটটোক কিমানটা সমান ভাগত বিভক্ত কৰে?
উত্তৰ: ২ টা সমান ভাগত (৫০% – ৫০%)।
প্ৰশ্ন ৬: তথ্যৰ বাৰংবাৰতা আটাইতকৈ বেছি থকা মানটোক কি বোলে?
উত্তৰ: বহুলক (Mode)।
প্ৰশ্ন ৭: চতুৰ্থকে (Quartiles) তথ্যৰ সমগ্ৰ গোটটোক কিমানটা সমান ভাগত বিভক্ত কৰে?
উত্তৰ: ৪ টা সমান ভাগত।
প্ৰশ্ন ৮: দ্বিতীয় চতুৰ্থক (Q2) ৰ মান কাৰ সমান?
উত্তৰ: মধ্যমা (Median) ৰ সমান।
প্ৰশ্ন ৯: দশমক (Deciles) ৰ সংকেত সংখ্যা কিমান আৰু ই তথ্যক কেইভাগ কৰে?
উত্তৰ: ই ৯ টা সূচক মান (D1 ৰ পৰা D9) যিয়ে তথ্যক ১০ টা সমান ভাগত বিভক্ত কৰে।
প্ৰশ্ন ১০: ৫০ তম শতাংশক (P50) কোন বিভাজন মূল্যৰ সমতুল্য?
উত্তৰ: মধ্যমা (Median), দ্বিতীয় চতুৰ্থক (Q2) আৰু পঞ্চম দশমক (D5) ৰ সমতুল্য।
প্ৰশ্ন ১১: কোন লেখচিত্ৰৰ (Graph) সহায়ত লেখীয়ভাৱে বহুলক (Mode) নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি?
উত্তৰ: হিষ্ট'গ্ৰাম (Histogram)।
প্ৰশ্ন ১২: চতুৰ্থক, দশমক আৰু শতাংশকসমূহ লেখীয়ভাৱে নিৰ্ধাৰণ কৰিবলৈ কি ৰেখালেখ অংকন কৰা হয়?
উত্তৰ: অজাঈভ বা ক্ৰমৱৰ্ধমান বাৰংবাৰতা ৰেখালেখ (Ogive)।
প্ৰশ্ন ১৩: গাণিতিক গড়, মধ্যমা আৰু বহুলকৰ মাজত থকা অনুভৱিক সম্পৰ্কটো (Empirical Formula) কি?
উত্তৰ: Mode = 3(Median) - 2(Mean)।
প্ৰশ্ন ১৪: গাণিতিক গড়ৰ পৰা লোৱা ৰাশিসমূহৰ বিচ্যুত্যিৰ (Deviations) বীজগাণিতিক যোগফল কিমান?
উত্তৰ: সদায় শূন্য (∑(x - x̄) = 0)।
প্ৰশ্ন ১৫: অতিশয় ডাঙৰ বা অতিশয় সৰু ক্ৰান্তীয় মানৰ (Extreme Values) দ্বাৰা আটাইতকৈ বেছি প্ৰভাৱিত হোৱা গড়টো কি?
উত্তৰ: গাণিতিক গড় (Arithmetic Mean)।
২. চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Short Answer Questions - 2 Marks Each)
প্ৰশ্ন ১: গাণিতিক গড়ৰ (Arithmetic Mean) দুটা প্ৰধান ধৰ্ম লিখা।
উত্তৰ: (১) গাণিতিক গড়ৰ পৰা তথ্যৰ প্ৰতিটো মানৰ বিচ্যুত্যিৰ (Deviations) যোগফল সদায় শূন্য হয়, অৰ্থাৎ ∑(x - x̄) = 0। (২) গাণিতিক গড়ৰ পৰা লোৱা বিচ্যুত্যিৰ বৰ্গৰ যোগফল নূন্যতম হয়, অৰ্থাৎ ∑(x - x̄)2 ৰ মান আটাইতকৈ সৰু।
প্ৰশ্ন ২: জ্যামিতিক গড় (Geometric Mean) কিয় আৰু ক'ত ব্যৱহাৰ কৰা হয়?
উত্তৰ: যেতিয়া তথ্যৰ মানসমূহ অনুপাত, শতাংশ, বা বৃদ্ধিৰ হাৰ (যেনে— জনসংখ্যা বৃদ্ধিৰ হাৰ, মূল্য সূচকাংক বা সুতৰ হাৰ) ৰূপত থাকে, তেতিয়া গাণিতিক গড়তকৈ জ্যামিতিক গড় অধিক সঠিক আৰু নিৰ্ভৰযোগ্য বুলি গণ্য কৰা হয়।
প্ৰশ্ন ৩: হৰাত্মক গড়ৰ (Harmonic Mean) গাণিতিক ধাৰণা আৰু ইয়াৰ ব্যৱহাৰ লিখা।
উত্তৰ: হৰাত্মক গড় হ'ল ৰাশিসমূহৰ প্ৰতিলোমৰ গাণিতিক গড়ৰ বিপৰীত মান। গাণিতিকভাৱে HM = n / ∑(1/x)। কোনো নিৰ্দ্বিষ্ট দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰোঁতে গড় গতিবেগ (Average Speed) আৰু সময়ৰ লগত জড়িত গড় হাৰ গণনা কৰিবলৈ ই আটাইতকৈ উপযোগী।
প্ৰশ্ন ৪: মধ্যমাৰ (Median) দুটা প্ৰধান সুবিধা আৰু অসুবিধা লিখা।
উত্তৰ: সুবিধা: ই অতিৰিক্ত ক্ৰান্তীয় মানৰ (Extreme values) দ্বাৰা প্ৰভাৱিত নহয় আৰু মুকলি-সীমা থকা শ্ৰেণীত সহজে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি। অসুবিধা: ইয়াৰ পৰৱৰ্তী বীজগাণিতিক বিশ্লেষণ কৰা কঠিন আৰু সকলোবোৰ পর্যবেক্ষণ মানৰ ওপৰত সমভাৱে নিৰ্ভৰ নকৰে।
প্ৰশ্ন ৫: বহুলক (Mode) কি? ইয়াক কিদৰে নিৰ্ধাৰণ কৰা হয়?
উত্তৰ: তথ্য সংগ্ৰহত আটাইতকৈ সঘনাই বা সৰ্বাধিক বাৰংবাৰতাৰে দেখা পোৱা মানটোকেই বহুলক বোলে। বিচ্ছিন তথ্যৰ বাবে সৰ্বাধিক বাৰংবাৰতা থকা মানটো পোনপটীয়াভাৱে লোৱা হয় আৰু ধাৰাবাহিক শ্ৰেণীত Mode = L + [(f1 - f0) / (2f1 - f0 - f2)] × h সূত্ৰৰে নিৰ্ণয় কৰা হয়।
প্ৰশ্ন ৬: বিভাজন মূল্য (Partition Values) বুলিলে কি বুজা? উদাহৰণ দিয়া।
উত্তৰ: ক্ৰমানুসাৰে সজোৱা তথ্যৰ সমগ্ৰ গোটটোক একাধিক সমান অংশত ভাগ কৰা সূচক মানসমূহকে বিভাজন মূল্য বোলা হয়। যেনে— চতুৰ্থক (তথ্যক ৪ ভাগ কৰে), দশমক (১০ ভাগ কৰে) আৰু শতাংশক (১০০ ভাগ কৰে)।
প্ৰশ্ন ৭: প্ৰথম চতুৰ্থক (Q1) আৰু তৃতীয় চতুৰ্থক (Q3) ৰ অৰ্থ বুজাই লিখা।
উত্তৰ: প্ৰথম চতুৰ্থক (Q1 বা নিম্ন চতুৰ্থক) এ এনে এক মানক বুজায় যাৰ তলত ২৫% তথ্য থাকে। তৃতীয় চতুৰ্থক (Q3 বা উচ্চ চতুৰ্থক) এ এনে মান বুজায় যাৰ তলত ৭৫% তথ্য (আৰু ওপৰত ২৫% তথ্য) অৱস্থিত থাকে।
প্ৰশ্ন ৮: শতাংশক (Percentiles) ৰ ব্যৱহাৰিক গুৰুত্ব কি?
উত্তৰ: শতাংশকে তথ্যক ১০০ টা সমান ভাগত বিভক্ত কৰে। বিভিন্ন প্ৰতিযোগিতামূলক পৰীক্ষাৰ ফলাফল (যেনে— Percentile score), শিশুবিকাশৰ বৃদ্ধিৰ সূচক আৰু স্বাস্থ্য সম্পৰ্কীয় গৱেষণাত মানুহ এজনৰ সামগ্ৰিক স্থান নিৰ্ধাৰণ কৰাত শতাংশক ব্যৱহাৰ কৰা হয়।
প্ৰশ্ন ৯: হিষ্ট'গ্ৰামৰ (Histogram) সহায়ত লেখীয়ভাৱে বহুলক (Mode) কিদৰে নিৰ্ণয় কৰা হয়?
উত্তৰ: হিষ্ট'গ্ৰামৰ আটাইতকৈ ওখ স্তম্ভটো নিৰ্বাচন কৰা হয়। এই স্তম্ভটোৰ ওপৰৰ বাওঁফালে থকা কোণটোক কাষৰ পিছৰ স্তম্ভৰ বাওঁফালৰ কোণৰ সৈতে আৰু ওপৰৰ সোঁফালৰ কোণটোক কাষৰ পূৰ্বৰ স্তম্ভৰ কোণৰ সৈতে কোণাকুণিকৈ সংযোগ কৰা হয়। ডাল দুডালে ছেদ কৰা বিন্দুৰ পৰা X-অক্ষত টনা লম্বই বহুলকৰ মান সূচায়।
প্ৰশ্ন ১০: অজাঈভ (Ogive) ব্যৱহাৰ কৰি কিদৰে চতুৰ্থকসমূহ (Q1, Q2, Q3) লেখীয়ভাৱে পোৱা যায়?
উত্তৰ: Y-অক্ষত ক্ৰমান্বয়ে N/4, 2N/4, আৰু 3N/4 মানসমূহ চিহ্নিত কৰি 'তকৈ কম' অজাঈভলৈ সমান্তৰাল ৰেখা টনা হয়। সেই ৰেখাবোৰে অজাঈভক ছেদ কৰা বিন্দুসমূহৰ পৰা X-অক্ষত টনা লম্বসমূহে ক্ৰমে Q1, Q2 (Median) আৰু Q3 ৰ মান নিৰ্ধাৰণ কৰে।
প্ৰশ্ন ১১: গাণিতিক গড়, জ্যামিতিক গড় আৰু হৰাত্মক গড়ৰ মাজৰ সম্পৰ্কটো (AM, GM, HM) গাণিতিকভাৱে বুজাই লিখা।
উত্তৰ: যিকোনো ধনাত্মক অ-সমান সংখ্যাৰ গোটৰ বাবে AM > GM > HM হয়। কিন্তু যদিহে তথ্যৰ আটাইবোৰ মান সমান হয়, তেন্তে AM = GM = HM। ইয়াৰ উপৰিও দুটা ধনাত্মক সংখ্যাৰ বাবে (GM)2 = AM × HM সম্পৰ্কটো প্ৰযোজ্য।
প্ৰশ্ন ১২: যোগ কৰা গড় বা সংযোজিত গড় (Combined Mean) কি?
উত্তৰ: যেতিয়া দুটা বা তাতোধিক গোটৰ আকাৰ (n1, n2) আৰু সিহঁতৰ সুকীয়া গাণিতিক গড় (x̄1, x̄2) জনা থাকে, তেতিয়া সমগ্ৰ গোটটোৰ একত্ৰিত গড় নিৰ্ণয় কৰিবলৈ সংযোজিত গড় ব্যৱহাৰ কৰা হয়: x̄12 = (n1x̄1 + n2x̄2) / (n1 + n2)।
প্ৰশ্ন ১৩: বিষমতাপূৰ্ণ বা হেলনীয়া (Skewed) বিভাজনত গড়, মধ্যমা আৰু বহুলকৰ অৱস্থান কেনেকুৱা হয়?
উত্তৰ: ধনাত্মকভাৱে হেলনীয়া (Positively Skewed) বিভাজনত Mean > Median > Mode হয়। আনহাতে, ঋণাত্মকভাৱে হেলনীয়া (Negatively Skewed) বিভাজনত Mean < Median < Mode অৱস্থা দেখা যায়।
প্ৰশ্ন ১৪: দশমক (Deciles) আৰু শতাংশকৰ (Percentiles) পৰস্পৰ সম্পৰ্ক লিখা।
উত্তৰ: দশমক আৰু শতাংশক দুয়োটাই বিভাজন মান। কেইটামান প্ৰধান সম্পৰ্ক হ'ল: D1 = P10, D2 = P20, D5 = P50 (যিটো Median ৰ সমান), আৰু D9 = P90।
প্ৰশ্ন ১৫: মুক্ত-সীমা থকা শ্ৰেণী বিভাজনৰ (Open-ended classes) বাবে কোনটো কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ মাপ আটাইতকৈ উপযুক্ত?
উত্তৰ: মধ্যমা (Median)। কাৰণ মুক্ত-সীমা শ্ৰেণীত প্ৰথম শ্ৰেণীৰ নিম্ন সীমা বা অন্তিম শ্ৰেণীৰ উচ্চ সীমা জনা নাথাকে, যাৰ বাবে গাণিতিক গড় গণনা কৰা অসম্ভৱ, কিন্তু মধ্যমা অৱস্থানভিত্তিক হোৱা বাবে সহজে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি।
৩. দীঘল প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Long Answer Questions - 5 Marks Each)
প্ৰশ্ন ১: কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ তিনিটা মূল মাপ— গাণিতিক গড়, জ্যামিতিক গড় আৰু হৰাত্মক গড়ৰ সৱিস্তৰে তুলনা কৰা। সিহঁতৰ প্ৰয়োগিক উপযোগিতা উদাহৰণসহ বৰ্ণনা কৰা।
উত্তৰ: কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ গড় তিনিটাৰ তুলনামূলক বিশ্লেষণ:
১/ গাণিতিক গড় (Arithmetic Mean - AM): ই সকলো নিৰীক্ষণ মানৰ যোগফলক মুঠ সংখ্যাৰে ভাগ কৰি পোৱা যায়। ই গণনাত সৰল, বীজগাণিতিকভাৱে প্ৰক্ৰিয়াযোগ্য আৰু সকলো মানৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল। উপযোগিতা: সাধাৰণ নম্বৰ, আয়, আৰু দৈনন্দিন পৰিসংখ্যাৰ পৰিমাণ জোখাত ব্যৱহৃত হয়।
২/ জ্যামিতিক গড় (Geometric Mean - GM): n-সংখ্যক ধনাত্মক ৰাশিৰ পূৰণফলৰ n-তম মূল (nth root)। ই ক্ৰান্তীয় মানৰ দ্বাৰা কম প্ৰভাৱিত হয়। উপযোগিতা: জনসংখ্যা বৃদ্ধিৰ হাৰ, মূল্য সূচকাংক (Index numbers), আৰু সুতৰ যৌগিক বৃদ্ধি নিৰ্ণয় কৰাত উপযুক্ত।
৩/ হৰাত্মক গড় (Harmonic Mean - HM): ৰাশিসমূহৰ প্ৰতিলোমৰ গাণিতিক গড়ৰ প্ৰতিলোম মান। ই সৰু মানসমূহক অধিক গুৰুত্ব দিয়ে। উপযোগিতা: গতিবেগ (Speed), কাৰ্য্যৰ হাৰ (Rate of work), আৰু মূল্য-পৰিমাণ সংক্ৰান্তীয় অনুপাতৰ গড় উলিওৱাত প্ৰয়োগ কৰা হয়।
গতিকে, তথ্যৰ প্ৰকৃতি আৰু বৈজ্ঞানিক উদ্দেশ্যৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি সঠিক গড়টো নিৰ্বাচন কৰা হয়।
প্ৰশ্ন ২: বিভাজন মূল্য (Partition Values) কি? চতুৰ্থক (Quartiles), দশমক (Deciles) আৰু শতাংশকৰ (Percentiles) গাণিতিক সূত্ৰ আৰু ধাৰণা বিস্তৃতভাৱে ব্যাখ্যা কৰা।
উত্তৰ: বিভাজন মূল্যৰ ধাৰণা: ক্ৰমানুসাৰে সজোৱা তথ্যৰ মানসমূহক সমান অংশত বিভক্ত কৰা সূচক বিন্দুসমূহকে বিভাজন মান বোলা হয়। ই স্থানভিত্তিক গড় (Positional Averages) ৰ সম্প্ৰসাৰিত ৰূপ।
১/ চতুৰ্থক (Quartiles - Qi): তথ্যক ৪ টা সমান অংশত ভাগ কৰে। ইয়াৰ ৩ টা মান থাকে— Q1 (নিম্ন চতুৰ্থক, ২৫%), Q2 (মধ্যমা, ৫০%), Q3 (উচ্চ চতুৰ্থক, ৭৫%)।
২/ দশমক (Deciles - Di): তথ্যক ১০ টা সমান ভাগত বিভাজিত কৰা ৯ টা সূচক মান (D1 ৰ পৰা D9)।
৩/ শতাংশক (Percentiles - Pi): তথ্যক ১০০ টা সমান ভাগত ভাগ কৰা ৯৯ টা মান (P1 ৰ পৰা P99)।
(ইয়াত L = শ্ৰেণীৰ নিম্ন সীমা, c.f. = পূৰ্বৱৰ্তী ক্ৰমৱৰ্ধমান বাৰংবাৰতা, f = শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা, h = শ্ৰেণী প্ৰসাৰ)।
প্ৰশ্ন ৩: হিষ্ট'গ্ৰাম অংকন কৰি লেখীয়ভাৱে বহুলক (Mode) কিদৰে পাওঁ, সংক্ষেপে বৰ্ণনা কৰা। কোনো ধাৰাবাহিক বিভাজনৰ সৰ্বাধিক বাৰংবাৰতাযুক্ত শ্ৰেণী ১০–২০, ইয়াৰ বাৰংবাৰতা ১৫, পূৰ্ববৰ্তী শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা ১০ আৰু পৰৱৰ্তী শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা ৮ হ'লে বহুলকৰ মান হিচাপ কৰা।
উত্তৰ: লেখীয়ভাৱে বহুলক নিৰ্ণয় পদ্ধতি: প্ৰথমে ধাৰাবাহিক বাৰংবাৰতা বিভাজনৰ পৰা হিষ্ট'গ্ৰাম অংকন কৰা হয়। আটাইতকৈ ওখ স্তম্ভটোৱে বহুলক শ্ৰেণী প্ৰকাশ কৰে। এই স্তম্ভৰ শীৰ্ষ বাওঁফালৰ বিন্দুক কাষৰ সোঁফালৰ স্তম্ভৰ শীৰ্ষবিন্দুৰ সৈতে আৰু শীৰ্ষ সোঁফালৰ বিন্দুক কাষৰ বাওঁফালৰ স্তম্ভৰ শীৰ্ষবিন্দুৰ সৈতে সংযোগ কৰা হয়। এই ৰেখা দুডালৰ ছেদবিন্দুৰ পৰা X-অক্ষত টনা লম্বই বহুলকৰ (Mode) সঠিক মান দিয়ে।
গাণিতিক সমাধান:
দিয়া আছে: বহুলক শ্ৰেণী = ১০–২০, গতিকে নিম্ন সীমা (L) = ১০, শ্ৰেণী প্ৰসাৰ (h) = ১০।
বহুলক শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা (f1) = ১৫, পূৰ্বৱৰ্তী শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা (f0) = ১০, পৰৱৰ্তী শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা (f2) = ৮।
বহুলকৰ সূত্ৰ: Mode = L + [ (f1 - f0) / (2f1 - f0 - f2) ] × h
= ১০ + [ (১৫ - ১০) / (২×১৫ - ১০ - ৮) ] × ১০
= ১০ + [ ৫ / (৩০ - ১৮) ] × ১০ = ১০ + (৫ / ১২) × ১০ = ১০ + (৫০ / ১২) = ১০ + ৪.১৭ = ১৪.১৭।
উত্তৰ: নিৰ্ণেয় বহুলকৰ মান ১৪.১৭।
প্ৰশ্ন ৪: অজাঈভ (Ogive) ৰ সহায়ত মধ্যমা (Median), প্ৰথম চতুৰ্থক (Q1) আৰু তৃতীয় চতুৰ্থক (Q3) ৰ লেখীয় স্থান নিৰ্ধাৰণ পদ্ধতি সৱিস্তৰে ব্যাখ্যা কৰা।
উত্তৰ: অজাঈভৰ দ্বাৰা বিভাজন মূল্যসমূহৰ লেখীয় নিৰ্ধাৰণ: ক্ৰমৱৰ্ধমান বাৰংবাৰতা ৰেখালেখ বা 'তকৈ কম' অজাঈভ ব্যৱহাৰ কৰি মধ্যমা আৰু চতুৰ্থকসমূহ অতি সহজে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি।
কাৰ্য্যপদ্ধতি:
১/ প্ৰথমে ধাৰাবাহিক তথ্যখিনিক 'তকৈ কম' ক্ৰমৱৰ্ধমান বাৰংবাৰতালৈ ৰূপান্তৰ কৰি X-অক্ষত শ্ৰেণীৰ উচ্চ সীমাবোৰ আৰু Y-অক্ষত ক্ৰমৱৰ্ধমান বাৰংবাৰতাবোৰ লৈ অজাঈভ ৰেখালেখ অংকন কৰা হয়।
২/ মধ্যমা (Median - Q2): Y-অক্ষত N/2 বিন্দু নিৰ্ধাৰণ কৰি তাৰ পৰা X-অক্ষৰ সমান্তৰালভাৱে ৰেখা টানি অজাঈভক কাটা বিন্দুৰ পৰা X-অক্ষলৈ লম্ব টনা হয়। X-অক্ষৰ সেই ছেদবিন্দুই মধ্যমা প্ৰদান কৰে।
৩/ প্ৰথম চতুৰ্থক (Q1): Y-অক্ষত N/4 বিন্দু লৈ একেদৰে অজাঈভৰ পৰা X-অক্ষত লম্ব টানি Q1 ৰ মান পোৱা যায়।
৪/ তৃতীয় চতুৰ্থক (Q3): Y-অক্ষত 3N/4 বিন্দু লৈ অজাঈভৰ পৰা X-অক্ষত টনা লম্বই Q3 ৰ মান প্ৰদান কৰে।
উপৰিও, 'তকৈ কম' আৰু 'তকৈ বেছি' দুয়োডালে ইটোৱে সিটোক ছেদ কৰা বিন্দুৰ পৰা X-অক্ষত টনা লম্বই পোনপটীয়াভাৱে মধ্যমা প্ৰকাশ কৰে।
প্ৰশ্ন ৫: এটা আদৰ্শ কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ মাপৰ (Ideal Measure of Central Tendency) কি কি গুণ থাকিব লাগে? বিভিন্ন পৰিস্থিতিত গড়, মধ্যমা আৰু বহুলকৰ উপযুক্ততা আলোচনা কৰা।
উত্তৰ: আদৰ্শ কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ মাপৰ প্ৰধান বৈশিষ্ট্যসমূহ: (১) ই স্পষ্টভাৱে সংজ্ঞায়িত (Rigidly defined) হ'ব লাগে। (২) ই সকলোবোৰ নিৰীক্ষণ মানৰ ওপৰত আধাৰিত হ'ব লাগে। (৩) গণনাত সৰল আৰু সহজে বুজিব পৰা হ'ব লাগে। (৪) ই পৰৱৰ্তী বীজগাণিতিক বিশ্লেষণৰ বাবে উপযুক্ত হ'ব লাগে। (৫) ই নিদৰ্শনৰ প্ৰতিচয়নজনিত তাৰতম্যৰ (Sampling fluctuations) দ্বাৰা অতি কম প্ৰভাৱিত হ'ব লাগে। (৬) ই ক্ৰান্তীয় মানৰ (Extreme values) দ্বাৰা অতিমাত্ৰা প্ৰভাৱিত হ'ব নালাগে।
বিভিন্ন পৰিস্থিতিত উপযুক্ততা:
১/ গাণিতিক গড়: ক্ৰান্তীয় মান নথকা আৰু সুষমভাৱে বিতৰিত সাধাৰণ সংখ্যাত্মক তথ্যৰ বাবে আটাইতকৈ উৎকৃষ্ট মাপ।
২/ মধ্যমা: হেলনীয়া (Skewed) বিভাজন, মুক্ত-সীমা থকা শ্ৰেণী, আৰু গুণগত ধৰ্ম (যেনে— আয় বন্টন, দৰিদ্ৰতা বা বুদ্ধিমত্তা) মূল্যায়নৰ বাবে আটাইতকৈ উপযুক্ত।
৩/ বহুলক: ব্যৱসায়িক বজাৰৰ জনপ্ৰিয় আকাৰ নিৰ্ধাৰণ (যেনে— জোতা বা কাপোৰৰ আটাইতকৈ বেছি বিক্ৰী হোৱা সাইজ) আৰু জনপ্ৰিয় পছন্দ বুজিবলৈ সৰ্বশ্ৰেষ্ঠ।
১. অতি চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Very Short Questions & Answers - 1 Mark Each)
প্ৰশ্ন ১: গাণিতিক গড় (Arithmetic Mean) ৰ মান উলিওৱাৰ মূল সূত্ৰটো কি?
উত্তৰ: গাণিতিক গড় (x̄) = ∑x / n, য'ত ∑x হ'ল ৰাশিসমূহৰ যোগফল আৰু n হ'ল মুঠ ৰাশিৰ সংখ্যা।
প্ৰশ্ন ২: জ্যামিতিক গড় (Geometric Mean) নিৰ্ধাৰণ কৰোঁতে কোনো ৰাশিৰ মান শূন্য বা ঋণাত্মক হ'ব পাৰেনে?
উত্তৰ: নোৱাৰে, জ্যামিতিক গড় কেৱল ধনাত্মক অ-শূন্য মানৰ বাবেহে সম্ভৱ।
প্ৰশ্ন ৩: হৰাত্মক গড় (Harmonic Mean) কিহৰ অনুলোম বা প্ৰতিলোম (Reciprocal) ৰ ওপৰত আধাৰিত?
উত্তৰ: ই তথ্যৰ অন্তৰ্ভুক্ত মানসমূহৰ প্ৰতিলোম (Reciprocal) ৰ গাণিতিক গড়ৰ বিপৰীত মান।
প্ৰশ্ন ৪: ধৰা হ'ল তিনিটা গড় AM, GM, আৰু HM; সিহঁতৰ মাজৰ অসমতাৰ সম্পৰ্কটো (Empirical Relation) কি?
উত্তৰ: AM ≥ GM ≥ HM।
প্ৰশ্ন ৫: মধ্যমা (Median) এ তথ্যৰ গোটটোক কিমানটা সমান ভাগত বিভক্ত কৰে?
উত্তৰ: ২ টা সমান ভাগত (৫০% – ৫০%)।
প্ৰশ্ন ৬: তথ্যৰ বাৰংবাৰতা আটাইতকৈ বেছি থকা মানটোক কি বোলে?
উত্তৰ: বহুলক (Mode)।
প্ৰশ্ন ৭: চতুৰ্থকে (Quartiles) তথ্যৰ সমগ্ৰ গোটটোক কিমানটা সমান ভাগত বিভক্ত কৰে?
উত্তৰ: ৪ টা সমান ভাগত।
প্ৰশ্ন ৮: দ্বিতীয় চতুৰ্থক (Q2) ৰ মান কাৰ সমান?
উত্তৰ: মধ্যমা (Median) ৰ সমান।
প্ৰশ্ন ৯: দশমক (Deciles) ৰ সংকেত সংখ্যা কিমান আৰু ই তথ্যক কেইভাগ কৰে?
উত্তৰ: ই ৯ টা সূচক মান (D1 ৰ পৰা D9) যিয়ে তথ্যক ১০ টা সমান ভাগত বিভক্ত কৰে।
প্ৰশ্ন ১০: ৫০ তম শতাংশক (P50) কোন বিভাজন মূল্যৰ সমতুল্য?
উত্তৰ: মধ্যমা (Median), দ্বিতীয় চতুৰ্থক (Q2) আৰু পঞ্চম দশমক (D5) ৰ সমতুল্য।
প্ৰশ্ন ১১: কোন লেখচিত্ৰৰ (Graph) সহায়ত লেখীয়ভাৱে বহুলক (Mode) নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি?
উত্তৰ: হিষ্ট'গ্ৰাম (Histogram)।
প্ৰশ্ন ১২: চতুৰ্থক, দশমক আৰু শতাংশকসমূহ লেখীয়ভাৱে নিৰ্ধাৰণ কৰিবলৈ কি ৰেখালেখ অংকন কৰা হয়?
উত্তৰ: অজাঈভ বা ক্ৰমৱৰ্ধমান বাৰংবাৰতা ৰেখালেখ (Ogive)।
প্ৰশ্ন ১৩: গাণিতিক গড়, মধ্যমা আৰু বহুলকৰ মাজত থকা অনুভৱিক সম্পৰ্কটো (Empirical Formula) কি?
উত্তৰ: Mode = 3(Median) - 2(Mean)।
প্ৰশ্ন ১৪: গাণিতিক গড়ৰ পৰা লোৱা ৰাশিসমূহৰ বিচ্যুত্যিৰ (Deviations) বীজগাণিতিক যোগফল কিমান?
উত্তৰ: সদায় শূন্য (∑(x - x̄) = 0)।
প্ৰশ্ন ১৫: অতিশয় ডাঙৰ বা অতিশয় সৰু ক্ৰান্তীয় মানৰ (Extreme Values) দ্বাৰা আটাইতকৈ বেছি প্ৰভাৱিত হোৱা গড়টো কি?
উত্তৰ: গাণিতিক গড় (Arithmetic Mean)।
২. চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Short Answer Questions - 2 Marks Each)
প্ৰশ্ন ১: গাণিতিক গড়ৰ (Arithmetic Mean) দুটা প্ৰধান ধৰ্ম লিখা।
উত্তৰ: (১) গাণিতিক গড়ৰ পৰা তথ্যৰ প্ৰতিটো মানৰ বিচ্যুত্যিৰ (Deviations) যোগফল সদায় শূন্য হয়, অৰ্থাৎ ∑(x - x̄) = 0। (২) গাণিতিক গড়ৰ পৰা লোৱা বিচ্যুত্যিৰ বৰ্গৰ যোগফল নূন্যতম হয়, অৰ্থাৎ ∑(x - x̄)2 ৰ মান আটাইতকৈ সৰু।
প্ৰশ্ন ২: জ্যামিতিক গড় (Geometric Mean) কিয় আৰু ক'ত ব্যৱহাৰ কৰা হয়?
উত্তৰ: যেতিয়া তথ্যৰ মানসমূহ অনুপাত, শতাংশ, বা বৃদ্ধিৰ হাৰ (যেনে— জনসংখ্যা বৃদ্ধিৰ হাৰ, মূল্য সূচকাংক বা সুতৰ হাৰ) ৰূপত থাকে, তেতিয়া গাণিতিক গড়তকৈ জ্যামিতিক গড় অধিক সঠিক আৰু নিৰ্ভৰযোগ্য বুলি গণ্য কৰা হয়।
প্ৰশ্ন ৩: হৰাত্মক গড়ৰ (Harmonic Mean) গাণিতিক ধাৰণা আৰু ইয়াৰ ব্যৱহাৰ লিখা।
উত্তৰ: হৰাত্মক গড় হ'ল ৰাশিসমূহৰ প্ৰতিলোমৰ গাণিতিক গড়ৰ বিপৰীত মান। গাণিতিকভাৱে HM = n / ∑(1/x)। কোনো নিৰ্দ্বিষ্ট দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰোঁতে গড় গতিবেগ (Average Speed) আৰু সময়ৰ লগত জড়িত গড় হাৰ গণনা কৰিবলৈ ই আটাইতকৈ উপযোগী।
প্ৰশ্ন ৪: মধ্যমাৰ (Median) দুটা প্ৰধান সুবিধা আৰু অসুবিধা লিখা।
উত্তৰ: সুবিধা: ই অতিৰিক্ত ক্ৰান্তীয় মানৰ (Extreme values) দ্বাৰা প্ৰভাৱিত নহয় আৰু মুকলি-সীমা থকা শ্ৰেণীত সহজে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি। অসুবিধা: ইয়াৰ পৰৱৰ্তী বীজগাণিতিক বিশ্লেষণ কৰা কঠিন আৰু সকলোবোৰ পর্যবেক্ষণ মানৰ ওপৰত সমভাৱে নিৰ্ভৰ নকৰে।
প্ৰশ্ন ৫: বহুলক (Mode) কি? ইয়াক কিদৰে নিৰ্ধাৰণ কৰা হয়?
উত্তৰ: তথ্য সংগ্ৰহত আটাইতকৈ সঘনাই বা সৰ্বাধিক বাৰংবাৰতাৰে দেখা পোৱা মানটোকেই বহুলক বোলে। বিচ্ছিন তথ্যৰ বাবে সৰ্বাধিক বাৰংবাৰতা থকা মানটো পোনপটীয়াভাৱে লোৱা হয় আৰু ধাৰাবাহিক শ্ৰেণীত Mode = L + [(f1 - f0) / (2f1 - f0 - f2)] × h সূত্ৰৰে নিৰ্ণয় কৰা হয়।
প্ৰশ্ন ৬: বিভাজন মূল্য (Partition Values) বুলিলে কি বুজা? উদাহৰণ দিয়া।
উত্তৰ: ক্ৰমানুসাৰে সজোৱা তথ্যৰ সমগ্ৰ গোটটোক একাধিক সমান অংশত ভাগ কৰা সূচক মানসমূহকে বিভাজন মূল্য বোলা হয়। যেনে— চতুৰ্থক (তথ্যক ৪ ভাগ কৰে), দশমক (১০ ভাগ কৰে) আৰু শতাংশক (১০০ ভাগ কৰে)।
প্ৰশ্ন ৭: প্ৰথম চতুৰ্থক (Q1) আৰু তৃতীয় চতুৰ্থক (Q3) ৰ অৰ্থ বুজাই লিখা।
উত্তৰ: প্ৰথম চতুৰ্থক (Q1 বা নিম্ন চতুৰ্থক) এ এনে এক মানক বুজায় যাৰ তলত ২৫% তথ্য থাকে। তৃতীয় চতুৰ্থক (Q3 বা উচ্চ চতুৰ্থক) এ এনে মান বুজায় যাৰ তলত ৭৫% তথ্য (আৰু ওপৰত ২৫% তথ্য) অৱস্থিত থাকে।
প্ৰশ্ন ৮: শতাংশক (Percentiles) ৰ ব্যৱহাৰিক গুৰুত্ব কি?
উত্তৰ: শতাংশকে তথ্যক ১০০ টা সমান ভাগত বিভক্ত কৰে। বিভিন্ন প্ৰতিযোগিতামূলক পৰীক্ষাৰ ফলাফল (যেনে— Percentile score), শিশুবিকাশৰ বৃদ্ধিৰ সূচক আৰু স্বাস্থ্য সম্পৰ্কীয় গৱেষণাত মানুহ এজনৰ সামগ্ৰিক স্থান নিৰ্ধাৰণ কৰাত শতাংশক ব্যৱহাৰ কৰা হয়।
প্ৰশ্ন ৯: হিষ্ট'গ্ৰামৰ (Histogram) সহায়ত লেখীয়ভাৱে বহুলক (Mode) কিদৰে নিৰ্ণয় কৰা হয়?
উত্তৰ: হিষ্ট'গ্ৰামৰ আটাইতকৈ ওখ স্তম্ভটো নিৰ্বাচন কৰা হয়। এই স্তম্ভটোৰ ওপৰৰ বাওঁফালে থকা কোণটোক কাষৰ পিছৰ স্তম্ভৰ বাওঁফালৰ কোণৰ সৈতে আৰু ওপৰৰ সোঁফালৰ কোণটোক কাষৰ পূৰ্বৰ স্তম্ভৰ কোণৰ সৈতে কোণাকুণিকৈ সংযোগ কৰা হয়। ডাল দুডালে ছেদ কৰা বিন্দুৰ পৰা X-অক্ষত টনা লম্বই বহুলকৰ মান সূচায়।
প্ৰশ্ন ১০: অজাঈভ (Ogive) ব্যৱহাৰ কৰি কিদৰে চতুৰ্থকসমূহ (Q1, Q2, Q3) লেখীয়ভাৱে পোৱা যায়?
উত্তৰ: Y-অক্ষত ক্ৰমান্বয়ে N/4, 2N/4, আৰু 3N/4 মানসমূহ চিহ্নিত কৰি 'তকৈ কম' অজাঈভলৈ সমান্তৰাল ৰেখা টনা হয়। সেই ৰেখাবোৰে অজাঈভক ছেদ কৰা বিন্দুসমূহৰ পৰা X-অক্ষত টনা লম্বসমূহে ক্ৰমে Q1, Q2 (Median) আৰু Q3 ৰ মান নিৰ্ধাৰণ কৰে।
প্ৰশ্ন ১১: গাণিতিক গড়, জ্যামিতিক গড় আৰু হৰাত্মক গড়ৰ মাজৰ সম্পৰ্কটো (AM, GM, HM) গাণিতিকভাৱে বুজাই লিখা।
উত্তৰ: যিকোনো ধনাত্মক অ-সমান সংখ্যাৰ গোটৰ বাবে AM > GM > HM হয়। কিন্তু যদিহে তথ্যৰ আটাইবোৰ মান সমান হয়, তেন্তে AM = GM = HM। ইয়াৰ উপৰিও দুটা ধনাত্মক সংখ্যাৰ বাবে (GM)2 = AM × HM সম্পৰ্কটো প্ৰযোজ্য।
প্ৰশ্ন ১২: যোগ কৰা গড় বা সংযোজিত গড় (Combined Mean) কি?
উত্তৰ: যেতিয়া দুটা বা তাতোধিক গোটৰ আকাৰ (n1, n2) আৰু সিহঁতৰ সুকীয়া গাণিতিক গড় (x̄1, x̄2) জনা থাকে, তেতিয়া সমগ্ৰ গোটটোৰ একত্ৰিত গড় নিৰ্ণয় কৰিবলৈ সংযোজিত গড় ব্যৱহাৰ কৰা হয়: x̄12 = (n1x̄1 + n2x̄2) / (n1 + n2)।
প্ৰশ্ন ১৩: বিষমতাপূৰ্ণ বা হেলনীয়া (Skewed) বিভাজনত গড়, মধ্যমা আৰু বহুলকৰ অৱস্থান কেনেকুৱা হয়?
উত্তৰ: ধনাত্মকভাৱে হেলনীয়া (Positively Skewed) বিভাজনত Mean > Median > Mode হয়। আনহাতে, ঋণাত্মকভাৱে হেলনীয়া (Negatively Skewed) বিভাজনত Mean < Median < Mode অৱস্থা দেখা যায়।
প্ৰশ্ন ১৪: দশমক (Deciles) আৰু শতাংশকৰ (Percentiles) পৰস্পৰ সম্পৰ্ক লিখা।
উত্তৰ: দশমক আৰু শতাংশক দুয়োটাই বিভাজন মান। কেইটামান প্ৰধান সম্পৰ্ক হ'ল: D1 = P10, D2 = P20, D5 = P50 (যিটো Median ৰ সমান), আৰু D9 = P90।
প্ৰশ্ন ১৫: মুক্ত-সীমা থকা শ্ৰেণী বিভাজনৰ (Open-ended classes) বাবে কোনটো কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ মাপ আটাইতকৈ উপযুক্ত?
উত্তৰ: মধ্যমা (Median)। কাৰণ মুক্ত-সীমা শ্ৰেণীত প্ৰথম শ্ৰেণীৰ নিম্ন সীমা বা অন্তিম শ্ৰেণীৰ উচ্চ সীমা জনা নাথাকে, যাৰ বাবে গাণিতিক গড় গণনা কৰা অসম্ভৱ, কিন্তু মধ্যমা অৱস্থানভিত্তিক হোৱা বাবে সহজে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি।
৩. দীঘল প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Long Answer Questions - 5 Marks Each)
প্ৰশ্ন ১: কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ তিনিটা মূল মাপ— গাণিতিক গড়, জ্যামিতিক গড় আৰু হৰাত্মক গড়ৰ সৱিস্তৰে তুলনা কৰা। সিহঁতৰ প্ৰয়োগিক উপযোগিতা উদাহৰণসহ বৰ্ণনা কৰা।
উত্তৰ: কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ গড় তিনিটাৰ তুলনামূলক বিশ্লেষণ:
১/ গাণিতিক গড় (Arithmetic Mean - AM): ই সকলো নিৰীক্ষণ মানৰ যোগফলক মুঠ সংখ্যাৰে ভাগ কৰি পোৱা যায়। ই গণনাত সৰল, বীজগাণিতিকভাৱে প্ৰক্ৰিয়াযোগ্য আৰু সকলো মানৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল। উপযোগিতা: সাধাৰণ নম্বৰ, আয়, আৰু দৈনন্দিন পৰিসংখ্যাৰ পৰিমাণ জোখাত ব্যৱহৃত হয়।
২/ জ্যামিতিক গড় (Geometric Mean - GM): n-সংখ্যক ধনাত্মক ৰাশিৰ পূৰণফলৰ n-তম মূল (nth root)। ই ক্ৰান্তীয় মানৰ দ্বাৰা কম প্ৰভাৱিত হয়। উপযোগিতা: জনসংখ্যা বৃদ্ধিৰ হাৰ, মূল্য সূচকাংক (Index numbers), আৰু সুতৰ যৌগিক বৃদ্ধি নিৰ্ণয় কৰাত উপযুক্ত।
৩/ হৰাত্মক গড় (Harmonic Mean - HM): ৰাশিসমূহৰ প্ৰতিলোমৰ গাণিতিক গড়ৰ প্ৰতিলোম মান। ই সৰু মানসমূহক অধিক গুৰুত্ব দিয়ে। উপযোগিতা: গতিবেগ (Speed), কাৰ্য্যৰ হাৰ (Rate of work), আৰু মূল্য-পৰিমাণ সংক্ৰান্তীয় অনুপাতৰ গড় উলিওৱাত প্ৰয়োগ কৰা হয়।
গতিকে, তথ্যৰ প্ৰকৃতি আৰু বৈজ্ঞানিক উদ্দেশ্যৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি সঠিক গড়টো নিৰ্বাচন কৰা হয়।
প্ৰশ্ন ২: বিভাজন মূল্য (Partition Values) কি? চতুৰ্থক (Quartiles), দশমক (Deciles) আৰু শতাংশকৰ (Percentiles) গাণিতিক সূত্ৰ আৰু ধাৰণা বিস্তৃতভাৱে ব্যাখ্যা কৰা।
উত্তৰ: বিভাজন মূল্যৰ ধাৰণা: ক্ৰমানুসাৰে সজোৱা তথ্যৰ মানসমূহক সমান অংশত বিভক্ত কৰা সূচক বিন্দুসমূহকে বিভাজন মান বোলা হয়। ই স্থানভিত্তিক গড় (Positional Averages) ৰ সম্প্ৰসাৰিত ৰূপ।
১/ চতুৰ্থক (Quartiles - Qi): তথ্যক ৪ টা সমান অংশত ভাগ কৰে। ইয়াৰ ৩ টা মান থাকে— Q1 (নিম্ন চতুৰ্থক, ২৫%), Q2 (মধ্যমা, ৫০%), Q3 (উচ্চ চতুৰ্থক, ৭৫%)।
২/ দশমক (Deciles - Di): তথ্যক ১০ টা সমান ভাগত বিভাজিত কৰা ৯ টা সূচক মান (D1 ৰ পৰা D9)।
৩/ শতাংশক (Percentiles - Pi): তথ্যক ১০০ টা সমান ভাগত ভাগ কৰা ৯৯ টা মান (P1 ৰ পৰা P99)।
(ইয়াত L = শ্ৰেণীৰ নিম্ন সীমা, c.f. = পূৰ্বৱৰ্তী ক্ৰমৱৰ্ধমান বাৰংবাৰতা, f = শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা, h = শ্ৰেণী প্ৰসাৰ)।
প্ৰশ্ন ৩: হিষ্ট'গ্ৰাম অংকন কৰি লেখীয়ভাৱে বহুলক (Mode) কিদৰে পাওঁ, সংক্ষেপে বৰ্ণনা কৰা। কোনো ধাৰাবাহিক বিভাজনৰ সৰ্বাধিক বাৰংবাৰতাযুক্ত শ্ৰেণী ১০–২০, ইয়াৰ বাৰংবাৰতা ১৫, পূৰ্ববৰ্তী শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা ১০ আৰু পৰৱৰ্তী শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা ৮ হ'লে বহুলকৰ মান হিচাপ কৰা।
উত্তৰ: লেখীয়ভাৱে বহুলক নিৰ্ণয় পদ্ধতি: প্ৰথমে ধাৰাবাহিক বাৰংবাৰতা বিভাজনৰ পৰা হিষ্ট'গ্ৰাম অংকন কৰা হয়। আটাইতকৈ ওখ স্তম্ভটোৱে বহুলক শ্ৰেণী প্ৰকাশ কৰে। এই স্তম্ভৰ শীৰ্ষ বাওঁফালৰ বিন্দুক কাষৰ সোঁফালৰ স্তম্ভৰ শীৰ্ষবিন্দুৰ সৈতে আৰু শীৰ্ষ সোঁফালৰ বিন্দুক কাষৰ বাওঁফালৰ স্তম্ভৰ শীৰ্ষবিন্দুৰ সৈতে সংযোগ কৰা হয়। এই ৰেখা দুডালৰ ছেদবিন্দুৰ পৰা X-অক্ষত টনা লম্বই বহুলকৰ (Mode) সঠিক মান দিয়ে।
গাণিতিক সমাধান:
দিয়া আছে: বহুলক শ্ৰেণী = ১০–২০, গতিকে নিম্ন সীমা (L) = ১০, শ্ৰেণী প্ৰসাৰ (h) = ১০।
বহুলক শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা (f1) = ১৫, পূৰ্বৱৰ্তী শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা (f0) = ১০, পৰৱৰ্তী শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা (f2) = ৮।
বহুলকৰ সূত্ৰ: Mode = L + [ (f1 - f0) / (2f1 - f0 - f2) ] × h
= ১০ + [ (১৫ - ১০) / (২×১৫ - ১০ - ৮) ] × ১০
= ১০ + [ ৫ / (৩০ - ১৮) ] × ১০ = ১০ + (৫ / ১২) × ১০ = ১০ + (৫০ / ১২) = ১০ + ৪.১৭ = ১৪.১৭।
উত্তৰ: নিৰ্ণেয় বহুলকৰ মান ১৪.১৭।
প্ৰশ্ন ৪: অজাঈভ (Ogive) ৰ সহায়ত মধ্যমা (Median), প্ৰথম চতুৰ্থক (Q1) আৰু তৃতীয় চতুৰ্থক (Q3) ৰ লেখীয় স্থান নিৰ্ধাৰণ পদ্ধতি সৱিস্তৰে ব্যাখ্যা কৰা।
উত্তৰ: অজাঈভৰ দ্বাৰা বিভাজন মূল্যসমূহৰ লেখীয় নিৰ্ধাৰণ: ক্ৰমৱৰ্ধমান বাৰংবাৰতা ৰেখালেখ বা 'তকৈ কম' অজাঈভ ব্যৱহাৰ কৰি মধ্যমা আৰু চতুৰ্থকসমূহ অতি সহজে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি।
কাৰ্য্যপদ্ধতি:
১/ প্ৰথমে ধাৰাবাহিক তথ্যখিনিক 'তকৈ কম' ক্ৰমৱৰ্ধমান বাৰংবাৰতালৈ ৰূপান্তৰ কৰি X-অক্ষত শ্ৰেণীৰ উচ্চ সীমাবোৰ আৰু Y-অক্ষত ক্ৰমৱৰ্ধমান বাৰংবাৰতাবোৰ লৈ অজাঈভ ৰেখালেখ অংকন কৰা হয়।
২/ মধ্যমা (Median - Q2): Y-অক্ষত N/2 বিন্দু নিৰ্ধাৰণ কৰি তাৰ পৰা X-অক্ষৰ সমান্তৰালভাৱে ৰেখা টানি অজাঈভক কাটা বিন্দুৰ পৰা X-অক্ষলৈ লম্ব টনা হয়। X-অক্ষৰ সেই ছেদবিন্দুই মধ্যমা প্ৰদান কৰে।
৩/ প্ৰথম চতুৰ্থক (Q1): Y-অক্ষত N/4 বিন্দু লৈ একেদৰে অজাঈভৰ পৰা X-অক্ষত লম্ব টানি Q1 ৰ মান পোৱা যায়।
৪/ তৃতীয় চতুৰ্থক (Q3): Y-অক্ষত 3N/4 বিন্দু লৈ অজাঈভৰ পৰা X-অক্ষত টনা লম্বই Q3 ৰ মান প্ৰদান কৰে।
উপৰিও, 'তকৈ কম' আৰু 'তকৈ বেছি' দুয়োডালে ইটোৱে সিটোক ছেদ কৰা বিন্দুৰ পৰা X-অক্ষত টনা লম্বই পোনপটীয়াভাৱে মধ্যমা প্ৰকাশ কৰে।
প্ৰশ্ন ৫: এটা আদৰ্শ কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ মাপৰ (Ideal Measure of Central Tendency) কি কি গুণ থাকিব লাগে? বিভিন্ন পৰিস্থিতিত গড়, মধ্যমা আৰু বহুলকৰ উপযুক্ততা আলোচনা কৰা।
উত্তৰ: আদৰ্শ কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ মাপৰ প্ৰধান বৈশিষ্ট্যসমূহ: (১) ই স্পষ্টভাৱে সংজ্ঞায়িত (Rigidly defined) হ'ব লাগে। (২) ই সকলোবোৰ নিৰীক্ষণ মানৰ ওপৰত আধাৰিত হ'ব লাগে। (৩) গণনাত সৰল আৰু সহজে বুজিব পৰা হ'ব লাগে। (৪) ই পৰৱৰ্তী বীজগাণিতিক বিশ্লেষণৰ বাবে উপযুক্ত হ'ব লাগে। (৫) ই নিদৰ্শনৰ প্ৰতিচয়নজনিত তাৰতম্যৰ (Sampling fluctuations) দ্বাৰা অতি কম প্ৰভাৱিত হ'ব লাগে। (৬) ই ক্ৰান্তীয় মানৰ (Extreme values) দ্বাৰা অতিমাত্ৰা প্ৰভাৱিত হ'ব নালাগে।
বিভিন্ন পৰিস্থিতিত উপযুক্ততা:
১/ গাণিতিক গড়: ক্ৰান্তীয় মান নথকা আৰু সুষমভাৱে বিতৰিত সাধাৰণ সংখ্যাত্মক তথ্যৰ বাবে আটাইতকৈ উৎকৃষ্ট মাপ।
২/ মধ্যমা: হেলনীয়া (Skewed) বিভাজন, মুক্ত-সীমা থকা শ্ৰেণী, আৰু গুণগত ধৰ্ম (যেনে— আয় বন্টন, দৰিদ্ৰতা বা বুদ্ধিমত্তা) মূল্যায়নৰ বাবে আটাইতকৈ উপযুক্ত।
৩/ বহুলক: ব্যৱসায়িক বজাৰৰ জনপ্ৰিয় আকাৰ নিৰ্ধাৰণ (যেনে— জোতা বা কাপোৰৰ আটাইতকৈ বেছি বিক্ৰী হোৱা সাইজ) আৰু জনপ্ৰিয় পছন্দ বুজিবলৈ সৰ্বশ্ৰেষ্ঠ।
Arithmetic Mean, Geometric Mean, Harmonic Mean, Median
Arithmetic Mean, Geometric Mean, Harmonic Mean, Median
Part A: Very Short Answer Questions (15 Questions — 1 Mark Each)
1. What is Arithmetic Mean?
Answer: Arithmetic Mean is the sum of all observations divided by the total number of observations. For n observations x1, x2, …, xn, x̄ = ∑x / n.
2. What is Geometric Mean?
Answer: Geometric Mean (G.M.) is the n-th root of the product of n positive observations: GM = (x1 • x2 •…• xn)1/n.
3. Define Harmonic Mean.
Answer: Harmonic Mean (H.M.) is the reciprocal of the arithmetic mean of the reciprocals of the observations: HM = n / ∑(1 / x).
4. What is Median?
Answer: Median is the middle value of a dataset when the observations are arranged in ascending or descending order. It divides the observations into two equal parts.
5. What is Mode?
Answer: Mode is the value that occurs with the highest frequency in a dataset. A dataset may have one mode, more than one mode, or no unique mode.
6. State the relation between G.M., A.M. and H.M.
Answer: For positive observations, AM ≥ GM ≥ HM. Equality occurs when all the observations are equal.
7. What is a Quartile?
Answer: Quartiles are the three values Q1, Q2, Q3 that divide an ordered dataset into four equal parts. Q1, Q2, and Q3 are the first, second, and third quartiles respectively.
8. What is a Decile?
Answer: Deciles are the nine partition values D1, D2, …, D9 that divide an ordered dataset into ten equal parts.
9. What is a Percentile?
Answer: Percentiles are the 99 partition values P1, P2, …, P99 that divide an ordered dataset into 100 equal parts.
10. Which quartile is equal to the median?
Answer: Q2 = Median. The second quartile divides the ordered observations into two equal parts.
11. Write the formula for the median of grouped data.
Answer: M = L + [ (N/2 - cf) / f ] • h, where L is lower boundary of median class, N is total frequency, cf is preceding cumulative frequency, f is class frequency and h is class width.
12. Write the formula for the mode of grouped data.
Answer: Mo = L + [ (f1 - f0) / (2f1 - f0 - f2) ] • h, where f1 is modal-class frequency, f0 is preceding frequency and f2 is succeeding frequency.
13. Which graph is commonly used to locate the median graphically?
Answer: The ogive or cumulative frequency curve is commonly used to locate the median graphically.
14. Which graph is used to locate the mode graphically?
Answer: The histogram is used to locate the mode graphically. The tallest rectangle represents the modal class, and the mode can be estimated by the standard graphical construction.
15. What is meant by a partition value?
Answer: A partition value is a positional value that divides an ordered dataset into a specified number of equal parts. Quartiles, deciles and percentiles are examples of partition values.
Part B: Short Answer Questions (15 Questions — 2 Marks Each)
1. Explain Arithmetic Mean and mention one important property.
Answer: Arithmetic Mean is obtained by dividing the sum of all observations by their number: x̄ = ∑x / n. A major property is that the algebraic sum of deviations of all observations from their arithmetic mean is zero: ∑(x - x̄) = 0. Thus, the mean represents the balance point of the observations.
2. State the main properties of Arithmetic Mean.
Answer: Arithmetic Mean uses every observation in the dataset and has a unique value for a given dataset. It is affected by extreme observations. Also, ∑(x - x̄) = 0. The sum of squared deviations from the arithmetic mean is minimum compared with the sum of squared deviations from any other fixed value.
3. What is Geometric Mean and where is it useful?
Answer: Geometric Mean is GM = (x1 • x2 •…• xn)1/n. It is particularly useful for quantities involving multiplication, ratios, growth factors and proportional changes. It requires positive observations. For two positive numbers a and b, GM = √(ab).
4. Explain Harmonic Mean with its formula.
Answer: Harmonic Mean is appropriate when observations are expressed as rates or ratios having a common numerator. For n positive observations, HM = n / (1/x1 + 1/x2 + … + 1/xn). It gives greater importance to smaller observations and is therefore generally less than the arithmetic and geometric means.
5. Distinguish between Mean and Median.
Answer: The mean is calculated using every observation and is influenced by extreme values. The median is a positional measure obtained after arranging observations and is much less affected by extreme values. Therefore, the median is often preferred for highly skewed distributions or datasets containing unusually large or small observations.
6. What are the important properties of Median?
Answer: Median divides an ordered distribution into two equal parts. It is not greatly affected by extreme observations and is suitable for skewed distributions. It can also be determined for distributions having open-ended classes under appropriate conditions. However, unlike the arithmetic mean, it does not generally use the magnitude of every observation.
7. What is Mode? Mention its importance.
Answer: Mode is the observation or value having the highest frequency. It indicates the most common or most typical value in a dataset. It is useful for identifying the most popular size, choice or category. Unlike the arithmetic mean, mode is not necessarily uniquely defined.
8. State the empirical relation among Mean, Median and Mode.
Answer: For a moderately skewed distribution, an empirical relationship is Mode ≈ 3 • Median - 2 • Mean. Equivalently, Mean - Mode ≈ 3(Mean - Median). This relation is approximate, not an exact mathematical identity. It is useful mainly for distributions showing moderate skewness.
9. Explain Quartiles.
Answer: Quartiles divide an ordered dataset into four equal parts. The first quartile Q1 leaves approximately 25% of observations below it, Q2 leaves 50%, and Q3 leaves 75%. The second quartile is the median: Q2 = Median.
10. Explain Deciles and Percentiles.
Answer: Deciles divide an ordered dataset into ten equal parts and are denoted by D1, …, D9. Percentiles divide it into 100 equal parts and are denoted by P1, …, P99. They are useful for describing the relative position of an observation within a distribution.
11. Write the formula for Q1 and Q3 for grouped data.
Answer: For a continuous grouped distribution:
Here L is the lower boundary of the relevant quartile class, cf is preceding cumulative frequency, f is class frequency and h is class width.
12. Write the formula for the k-th decile.
Answer: For grouped continuous data, the k-th decile (k = 1, 2, …, 9) is:
The appropriate decile class is identified from the cumulative frequency corresponding to kN/10.
13. Write the formula for the k-th percentile.
Answer: For grouped continuous data, the k-th percentile (k = 1, 2, …, 99) is:
The percentile class is identified from the cumulative frequency corresponding to kN/100.
14. How are quartiles located graphically?
Answer: Quartiles can be located using an ogive. Construct the cumulative frequency curve and mark N/4, N/2, and 3N/4 on the cumulative-frequency axis. Draw horizontal lines to meet the ogive and then project vertically to the value axis. The corresponding values give Q1, Q2, Q3.
15. How is the mode located graphically?
Answer: The mode is located graphically using a histogram. The tallest rectangle represents the modal class. From the upper corners of the modal rectangle, straight lines are drawn to the appropriate corners of the adjacent rectangles. Their intersection is projected onto the horizontal axis to obtain the approximate mode.
Part C: Long Answer Questions (5 Questions — 5 Marks Each)
1. Explain Arithmetic Mean, Geometric Mean and Harmonic Mean with their formulas and important properties.
Answer: Measures of mean provide a single representative value for a set of observations. The three important mathematical means are Arithmetic Mean, Geometric Mean and Harmonic Mean.
For n observations x1, x2, …, xn, the Arithmetic Mean (A.M.) is:
It uses every observation and has a unique value. It is, however, sensitive to extreme values. An important property is ∑(x - x̄) = 0.
The Geometric Mean (G.M.) is:
It is suitable for multiplicative changes, ratios and growth factors. The observations must be positive.
The Harmonic Mean (H.M.) is:
It is particularly useful for rates and ratios under appropriate conditions and gives relatively greater weight to smaller values.
For positive observations, the three means satisfy AM ≥ GM ≥ HM. Equality holds when all observations are equal. These means differ in their mathematical construction and are selected according to the nature of the data being analysed.
2. Explain Median and Mode, including their calculation for grouped data and their important properties.
Answer: Median is the central positional value of an ordered dataset. It divides the observations into two equal parts. For an ungrouped dataset, the median is the middle observation when n is odd; when n is even, it is the arithmetic mean of the two middle observations.
For a continuous grouped distribution, the median formula is:
where L is the lower boundary of the median class, N is total frequency, cf is the cumulative frequency before the median class, f is its frequency and h is class width.
Mode is the value occurring with the highest frequency. In grouped data, the class with the highest frequency is called the modal class. The mode is estimated by:
Here f1, f0, and f2 are respectively the frequencies of the modal, preceding and succeeding classes.
Median is relatively resistant to extreme observations and is useful for skewed data. Mode identifies the most common value and can be used with qualitative or categorical data. For moderately skewed distributions, Mode ≈ 3 • Median - 2 • Mean.
3. Explain Quartiles, Deciles and Percentiles and give their formulas for grouped data.
Answer: Quartiles, deciles and percentiles are partition values because they divide an ordered distribution into equal parts.
Quartiles divide the data into four equal parts (Q1, Q2, Q3, where Q2 = Median). For grouped continuous data:
Deciles divide the distribution into ten equal parts (D1, …, D9). The formula for the k-th decile (k = 1, 2, …, 9) is:
Percentiles divide the distribution into 100 equal parts (P1, …, P99). The k-th percentile (k = 1, 2, …, 99) is:
In all these formulas, L is the lower class boundary of the relevant class, cf is the cumulative frequency before that class, f is its frequency, h is the class width, and N is total frequency. These measures are particularly useful for comparing the relative positions of observations.
4. Explain the graphical location of Mode, Median and Quartiles using appropriate graphs.
Answer: Graphical methods provide a visual way of estimating positional measures.
The mode is located using a histogram. First construct the histogram for the continuous frequency distribution. The tallest rectangle identifies the modal class. A standard graphical construction using the adjacent rectangles gives an intersection whose perpendicular projection on the horizontal axis provides an estimate of the mode. The result is approximate.
The median and quartiles are generally located using a cumulative frequency curve or ogive. A less-than ogive is constructed by plotting upper class boundaries against less-than cumulative frequencies and joining the points smoothly.
If the total frequency is N, mark N/2 on the cumulative-frequency axis. Draw a horizontal line from this point to the ogive and then a vertical line to the value axis. The resulting value gives the median Q2.
Similarly, mark N/4 and 3N/4 on the cumulative frequency axis to obtain Q1 and Q3, respectively. Thus, the histogram is principally used for graphical estimation of the mode, whereas an ogive is used for the median and quartiles.
5. Explain the graphical location of Deciles and Percentiles and discuss their relationship with Quartiles.
Answer: Deciles and percentiles are positional measures that can be obtained graphically from a cumulative frequency curve, or ogive. After constructing the appropriate ogive, the cumulative-frequency axis is used to locate the required position.
For the k-th decile, calculate kN/10 (k = 1, 2, …, 9). Mark this cumulative frequency on the vertical axis, draw a horizontal line to meet the ogive, and then project the intersection vertically onto the horizontal axis to obtain Dk.
For the k-th percentile, calculate kN/100 (k = 1, 2, …, 99) and follow the same graphical procedure to obtain Pk.
Quartiles, deciles and percentiles are closely related because all are partition values indicating the relative position of observations in an ordered distribution. Important relationships include:
Q1 = P25, Q2 = P50, Q3 = P75
D5 = P50 = Q2 = Median
Thus, quartiles divide the distribution into four parts, deciles into ten parts, and percentiles into one hundred parts. Their graphical determination is especially useful for understanding the distribution and relative standing of observations.
Part A: Very Short Answer Questions (15 Questions — 1 Mark Each)
1. What is Arithmetic Mean?
Answer: Arithmetic Mean is the sum of all observations divided by the total number of observations. For n observations x1, x2, …, xn, x̄ = ∑x / n.
2. What is Geometric Mean?
Answer: Geometric Mean (G.M.) is the n-th root of the product of n positive observations: GM = (x1 • x2 •…• xn)1/n.
3. Define Harmonic Mean.
Answer: Harmonic Mean (H.M.) is the reciprocal of the arithmetic mean of the reciprocals of the observations: HM = n / ∑(1 / x).
4. What is Median?
Answer: Median is the middle value of a dataset when the observations are arranged in ascending or descending order. It divides the observations into two equal parts.
5. What is Mode?
Answer: Mode is the value that occurs with the highest frequency in a dataset. A dataset may have one mode, more than one mode, or no unique mode.
6. State the relation between G.M., A.M. and H.M.
Answer: For positive observations, AM ≥ GM ≥ HM. Equality occurs when all the observations are equal.
7. What is a Quartile?
Answer: Quartiles are the three values Q1, Q2, Q3 that divide an ordered dataset into four equal parts. Q1, Q2, and Q3 are the first, second, and third quartiles respectively.
8. What is a Decile?
Answer: Deciles are the nine partition values D1, D2, …, D9 that divide an ordered dataset into ten equal parts.
9. What is a Percentile?
Answer: Percentiles are the 99 partition values P1, P2, …, P99 that divide an ordered dataset into 100 equal parts.
10. Which quartile is equal to the median?
Answer: Q2 = Median. The second quartile divides the ordered observations into two equal parts.
11. Write the formula for the median of grouped data.
Answer: M = L + [ (N/2 - cf) / f ] • h, where L is lower boundary of median class, N is total frequency, cf is preceding cumulative frequency, f is class frequency and h is class width.
12. Write the formula for the mode of grouped data.
Answer: Mo = L + [ (f1 - f0) / (2f1 - f0 - f2) ] • h, where f1 is modal-class frequency, f0 is preceding frequency and f2 is succeeding frequency.
13. Which graph is commonly used to locate the median graphically?
Answer: The ogive or cumulative frequency curve is commonly used to locate the median graphically.
14. Which graph is used to locate the mode graphically?
Answer: The histogram is used to locate the mode graphically. The tallest rectangle represents the modal class, and the mode can be estimated by the standard graphical construction.
15. What is meant by a partition value?
Answer: A partition value is a positional value that divides an ordered dataset into a specified number of equal parts. Quartiles, deciles and percentiles are examples of partition values.
Part B: Short Answer Questions (15 Questions — 2 Marks Each)
1. Explain Arithmetic Mean and mention one important property.
Answer: Arithmetic Mean is obtained by dividing the sum of all observations by their number: x̄ = ∑x / n. A major property is that the algebraic sum of deviations of all observations from their arithmetic mean is zero: ∑(x - x̄) = 0. Thus, the mean represents the balance point of the observations.
2. State the main properties of Arithmetic Mean.
Answer: Arithmetic Mean uses every observation in the dataset and has a unique value for a given dataset. It is affected by extreme observations. Also, ∑(x - x̄) = 0. The sum of squared deviations from the arithmetic mean is minimum compared with the sum of squared deviations from any other fixed value.
3. What is Geometric Mean and where is it useful?
Answer: Geometric Mean is GM = (x1 • x2 •…• xn)1/n. It is particularly useful for quantities involving multiplication, ratios, growth factors and proportional changes. It requires positive observations. For two positive numbers a and b, GM = √(ab).
4. Explain Harmonic Mean with its formula.
Answer: Harmonic Mean is appropriate when observations are expressed as rates or ratios having a common numerator. For n positive observations, HM = n / (1/x1 + 1/x2 + … + 1/xn). It gives greater importance to smaller observations and is therefore generally less than the arithmetic and geometric means.
5. Distinguish between Mean and Median.
Answer: The mean is calculated using every observation and is influenced by extreme values. The median is a positional measure obtained after arranging observations and is much less affected by extreme values. Therefore, the median is often preferred for highly skewed distributions or datasets containing unusually large or small observations.
6. What are the important properties of Median?
Answer: Median divides an ordered distribution into two equal parts. It is not greatly affected by extreme observations and is suitable for skewed distributions. It can also be determined for distributions having open-ended classes under appropriate conditions. However, unlike the arithmetic mean, it does not generally use the magnitude of every observation.
7. What is Mode? Mention its importance.
Answer: Mode is the observation or value having the highest frequency. It indicates the most common or most typical value in a dataset. It is useful for identifying the most popular size, choice or category. Unlike the arithmetic mean, mode is not necessarily uniquely defined.
8. State the empirical relation among Mean, Median and Mode.
Answer: For a moderately skewed distribution, an empirical relationship is Mode ≈ 3 • Median - 2 • Mean. Equivalently, Mean - Mode ≈ 3(Mean - Median). This relation is approximate, not an exact mathematical identity. It is useful mainly for distributions showing moderate skewness.
9. Explain Quartiles.
Answer: Quartiles divide an ordered dataset into four equal parts. The first quartile Q1 leaves approximately 25% of observations below it, Q2 leaves 50%, and Q3 leaves 75%. The second quartile is the median: Q2 = Median.
10. Explain Deciles and Percentiles.
Answer: Deciles divide an ordered dataset into ten equal parts and are denoted by D1, …, D9. Percentiles divide it into 100 equal parts and are denoted by P1, …, P99. They are useful for describing the relative position of an observation within a distribution.
11. Write the formula for Q1 and Q3 for grouped data.
Answer: For a continuous grouped distribution:
Here L is the lower boundary of the relevant quartile class, cf is preceding cumulative frequency, f is class frequency and h is class width.
12. Write the formula for the k-th decile.
Answer: For grouped continuous data, the k-th decile (k = 1, 2, …, 9) is:
The appropriate decile class is identified from the cumulative frequency corresponding to kN/10.
13. Write the formula for the k-th percentile.
Answer: For grouped continuous data, the k-th percentile (k = 1, 2, …, 99) is:
The percentile class is identified from the cumulative frequency corresponding to kN/100.
14. How are quartiles located graphically?
Answer: Quartiles can be located using an ogive. Construct the cumulative frequency curve and mark N/4, N/2, and 3N/4 on the cumulative-frequency axis. Draw horizontal lines to meet the ogive and then project vertically to the value axis. The corresponding values give Q1, Q2, Q3.
15. How is the mode located graphically?
Answer: The mode is located graphically using a histogram. The tallest rectangle represents the modal class. From the upper corners of the modal rectangle, straight lines are drawn to the appropriate corners of the adjacent rectangles. Their intersection is projected onto the horizontal axis to obtain the approximate mode.
Part C: Long Answer Questions (5 Questions — 5 Marks Each)
1. Explain Arithmetic Mean, Geometric Mean and Harmonic Mean with their formulas and important properties.
Answer: Measures of mean provide a single representative value for a set of observations. The three important mathematical means are Arithmetic Mean, Geometric Mean and Harmonic Mean.
For n observations x1, x2, …, xn, the Arithmetic Mean (A.M.) is:
It uses every observation and has a unique value. It is, however, sensitive to extreme values. An important property is ∑(x - x̄) = 0.
The Geometric Mean (G.M.) is:
It is suitable for multiplicative changes, ratios and growth factors. The observations must be positive.
The Harmonic Mean (H.M.) is:
It is particularly useful for rates and ratios under appropriate conditions and gives relatively greater weight to smaller values.
For positive observations, the three means satisfy AM ≥ GM ≥ HM. Equality holds when all observations are equal. These means differ in their mathematical construction and are selected according to the nature of the data being analysed.
2. Explain Median and Mode, including their calculation for grouped data and their important properties.
Answer: Median is the central positional value of an ordered dataset. It divides the observations into two equal parts. For an ungrouped dataset, the median is the middle observation when n is odd; when n is even, it is the arithmetic mean of the two middle observations.
For a continuous grouped distribution, the median formula is:
where L is the lower boundary of the median class, N is total frequency, cf is the cumulative frequency before the median class, f is its frequency and h is class width.
Mode is the value occurring with the highest frequency. In grouped data, the class with the highest frequency is called the modal class. The mode is estimated by:
Here f1, f0, and f2 are respectively the frequencies of the modal, preceding and succeeding classes.
Median is relatively resistant to extreme observations and is useful for skewed data. Mode identifies the most common value and can be used with qualitative or categorical data. For moderately skewed distributions, Mode ≈ 3 • Median - 2 • Mean.
3. Explain Quartiles, Deciles and Percentiles and give their formulas for grouped data.
Answer: Quartiles, deciles and percentiles are partition values because they divide an ordered distribution into equal parts.
Quartiles divide the data into four equal parts (Q1, Q2, Q3, where Q2 = Median). For grouped continuous data:
Deciles divide the distribution into ten equal parts (D1, …, D9). The formula for the k-th decile (k = 1, 2, …, 9) is:
Percentiles divide the distribution into 100 equal parts (P1, …, P99). The k-th percentile (k = 1, 2, …, 99) is:
In all these formulas, L is the lower class boundary of the relevant class, cf is the cumulative frequency before that class, f is its frequency, h is the class width, and N is total frequency. These measures are particularly useful for comparing the relative positions of observations.
4. Explain the graphical location of Mode, Median and Quartiles using appropriate graphs.
Answer: Graphical methods provide a visual way of estimating positional measures.
The mode is located using a histogram. First construct the histogram for the continuous frequency distribution. The tallest rectangle identifies the modal class. A standard graphical construction using the adjacent rectangles gives an intersection whose perpendicular projection on the horizontal axis provides an estimate of the mode. The result is approximate.
The median and quartiles are generally located using a cumulative frequency curve or ogive. A less-than ogive is constructed by plotting upper class boundaries against less-than cumulative frequencies and joining the points smoothly.
If the total frequency is N, mark N/2 on the cumulative-frequency axis. Draw a horizontal line from this point to the ogive and then a vertical line to the value axis. The resulting value gives the median Q2.
Similarly, mark N/4 and 3N/4 on the cumulative frequency axis to obtain Q1 and Q3, respectively. Thus, the histogram is principally used for graphical estimation of the mode, whereas an ogive is used for the median and quartiles.
5. Explain the graphical location of Deciles and Percentiles and discuss their relationship with Quartiles.
Answer: Deciles and percentiles are positional measures that can be obtained graphically from a cumulative frequency curve, or ogive. After constructing the appropriate ogive, the cumulative-frequency axis is used to locate the required position.
For the k-th decile, calculate kN/10 (k = 1, 2, …, 9). Mark this cumulative frequency on the vertical axis, draw a horizontal line to meet the ogive, and then project the intersection vertically onto the horizontal axis to obtain Dk.
For the k-th percentile, calculate kN/100 (k = 1, 2, …, 99) and follow the same graphical procedure to obtain Pk.
Quartiles, deciles and percentiles are closely related because all are partition values indicating the relative position of observations in an ordered distribution. Important relationships include:
Q1 = P25, Q2 = P50, Q3 = P75
D5 = P50 = Q2 = Median
Thus, quartiles divide the distribution into four parts, deciles into ten parts, and percentiles into one hundred parts. Their graphical determination is especially useful for understanding the distribution and relative standing of observations.