সমাধান:
(i) ধৰা হ'ল p(x) = x² - 2x - 8
p(x) = x² - (4 - 2)x - 8
= x² - 4x + 2x - 8
= x(x - 4) + 2(x - 4)
= (x - 4)(x + 2)

p(x) = x² - 2x - 8 ৰ মান শূন্য যেতিয়া
হয়, x - 4 = 0      বা, x + 2 = 0
⇒ x = 4                ⇒ x = -2
প্ৰদত্ত p(x) = x² - 2x - 8 ৰ শূন্যকেইটা হৈছে α = 4 আৰু β = -2

[মধ্যপদ বিভাজন কৰি: x² × 8 = 8x² = 4x × 2x]

এতিয়া, x² ৰ সহগ, a = 1; x ৰ সহগ, b = -2; ধ্ৰুৱক পদ, c = -8
p(x) ৰ শূন্য দুটাৰ যোগফল = α + β = 4 + (-2) = 4 - 2 = 2 = = =
p(x) ৰ শূন্য দুটাৰ গুণফল = αβ = 4 × (-2) = -8 = = =

সত্যাপন কৰা হ'ল।

---

(ii) ধৰা হ'ল, p(s) = 4s² - 4s + 1
p(s) = 4s² - (2 + 2)s + 1
= 4s² - 2s - 2s + 1
= 2s(2s - 1) - 1(2s - 1)
= (2s - 1)(2s - 1)

p(s) = 4s² - 4s + 1 ৰ মান শূন্য যেতিয়া
হয়, 2s - 1 = 0      বা, 2s - 1 = 0
⇒ 2s = 1                ⇒ 2s = 1
⇒ s =                   ⇒ s =
গতিকে, p(s) ৰ শূন্য দুটা হৈছে α = আৰু β =

[মধ্যপদ বিভাজন কৰি: 4s² × 1 = 4s² = 2s × 2s]

এতিয়া, s² ৰ সহগ, a = 4; s ৰ সহগ, b = -4; ধ্ৰুৱক পদ, c = 1
p(s) ৰ শূন্য দুটাৰ সমষ্টি = α + β = + = 1 = = =
p(s) ৰ শূন্য দুটাৰ গুণফল = αβ = × = = =

সত্যাপন কৰা হ'ল।

---

(iii) ধৰা হ'ল, p(x) = 6x² - 3 - 7x
p(x) = 6x² - 7x - 3
= 6x² - (9 - 2)x - 3
= 6x² - 9x + 2x - 3
= 3x(2x - 3) + 1(2x - 3)
= (2x - 3)(3x + 1)

p(x) ৰ মান শূন্য যেতিয়া
হয়, 2x - 3 = 0      বা, 3x + 1 = 0
⇒ 2x = 3                ⇒ 3x = -1
⇒ x =                   ⇒ x = -
গতিকে, p(x) ৰ শূন্যকেইটা α = আৰু β = -

[মধ্যপদ বিভাজন কৰি: 6x² × 3 = 18x² = 9x × 2x]

এতিয়া, x² ৰ সহগ, a = 6; x ৰ সহগ, b = -7; ধ্ৰুৱক পদ, c = -3
p(x) ৰ শূন্য দুটাৰ সমষ্টি = α + β = + (-) = - = = = = =
p(x) ৰ শূন্য দুটাৰ গুণফল = αβ = × (-) = - = = =

সত্যাপন কৰা হ'ল।

---

(iv) ধৰা হ'ল, p(u) = 4u² + 8u
p(u) = 4u(u + 2)

p(u) ৰ মান শূন্য যেতিয়া
হয়, 4u = 0      বা, u + 2 = 0
⇒ u = 0                ⇒ u = -2
গতিকে, p(u) ৰ শূন্যকেইটা হৈছে α = 0 আৰু β = -2

এতিয়া, u² ৰ সহগ, a = 4; u ৰ সহগ, b = 8; ধ্ৰুৱক পদ, c = 0
p(u) ৰ শূন্য দুটাৰ সমষ্টি = α + β = 0 + (-2) = -2 = = =
p(u) ৰ শূন্য দুটাৰ গুণফল = αβ = 0 × (-2) = 0 = = =

সত্যাপন কৰা হ'ল।

---

(v) ধৰা হ'ল, p(t) = t² - 15
p(t) = t² - (√15)² = (t + √15)(t - √15)      [∵ a² - b² = (a + b)(a - b)]

p(t) ৰ মান শূন্য যেতিয়া
হয়, t + √15 = 0      বা, t - √15 = 0
⇒ t = -√15                ⇒ t = √15
গতিকে, p(t) ৰ শূন্য দুটা হৈছে α = -√15 আৰু β = √15

এতিয়া, t² ৰ সহগ, a = 1; t ৰ সহগ, b = 0; ধ্ৰুৱক পদ, c = -15
p(t) ৰ শূন্য দুটাৰ সমষ্টি = α + β = -√15 + √15 = 0 = = =
p(t) ৰ শূন্য দুটাৰ গুণফল = αβ = (-√15) × (√15) = -15 = = =

সত্যাপন কৰা হ'ল।

---

(vi) ধৰা হ'ল, p(x) = 3x² - x - 4
p(x) = 3x² - (4 - 3)x - 4
= 3x² - 4x + 3x - 4
= x(3x - 4) + 1(3x - 4)
= (3x - 4)(x + 1)

p(x) ৰ মান শূন্য যেতিয়া
হয়, 3x - 4 = 0      বা, x + 1 = 0
⇒ 3x = 4                  ⇒ x = -1
⇒ x =
গতিকে, p(x) ৰ শূন্য দুটা হৈছে α = আৰু β = -1

[মধ্যপদ বিভাজন কৰি: 3x² × 4 = 12x² = 3x × 4x]

এতিয়া, x² ৰ সহগ, a = 3; x ৰ সহগ, b = -1; ধ্ৰুৱক পদ, c = -4
p(x) ৰ শূন্য দুটাৰ সমষ্টি = α + β = + (-1) = = = = =
p(x) ৰ শূন্য দুটাৰ গুণফল = αβ = × (-1) = - = = =

সত্যাপন কৰা হ'ল।

সমাধান:
(i) ধৰা হ'ল, দ্বিঘাত বহুপদটো ax² + bx + c আৰু ইয়াৰ শূন্য দুটা α আৰু β
আমি পাওঁ, শূন্য দুটাৰ সমষ্টি, α + β = ⇒ = ⇒ = -. ইয়াত, a = 4 আৰু b = -1
শূন্য দুটাৰ গুণফল, αβ = -1 ⇒ = -1 ⇒ = -1 ⇒ c = -4      [∵ a = 4]
গতিকে, a = 4, b = -1 আৰু c = -4 হোৱাৰ ক্ষেত্ৰত চৰ্ত সিদ্ধ কৰা দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছে: 4x² - x - 4

---

(ii) ধৰা হ'ল, দ্বিঘাত বহুপদটো ax² + bx + c আৰু ইয়াৰ শূন্য দুটা α আৰু β
আমি পাওঁ, শূন্য দুটাৰ গুণফল, αβ = ⇒ = . ইয়াত, a = 3 আৰু c = 1
শূন্য দুটাৰ সমষ্টি, α + β = √2 ⇒ = √2 ⇒ = -√2 ⇒ b = -3√2      [∵ a = 3]
গতিকে, a = 3, b = -3√2 আৰু c = 1 হোৱাৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰদত্ত চৰ্ত সিদ্ধ কৰা দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছে: 3x² - 3√2x + 1

---

(iii) ধৰা হ'ল, দ্বিঘাত বহুপদটো ax² + bx + c আৰু ইয়াৰ শূন্য দুটা α আৰু β
আমি পাওঁ, শূন্য দুটাৰ সমষ্টি, α + β = 0 ⇒ = 0 ⇒ b = 0
শূন্য দুটাৰ গুণফল, αβ = √5 ⇒ = . ইয়াত c = √5 আৰু a = 1
গতিকে, a = 1, b = 0 আৰু c = √5 হোৱাৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰদত্ত চৰ্ত সিদ্ধ কৰা দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছে x² + 0.x + √5, অৰ্থাৎ: x² + √5

---

(iv) ধৰা হ'ল, দ্বিঘাত বহুপদটো ax² + bx + c আৰু ইয়াৰ শূন্য দুটা α আৰু β
আমি পাওঁ, শূন্য দুটাৰ সমষ্টি, α + β = 1 ⇒ = 1 ⇒ = . ইয়াত, a = 1 আৰু b = -1
শূন্য দুটাৰ গুণফল, αβ = 1 ⇒ = 1 ⇒ = 1 ⇒ c = 1      [∵ a = 1]
গতিকে, a = 1, b = -1 আৰু c = 1 হোৱাৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰদত্ত চৰ্ত সিদ্ধ কৰা দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছে: x² - x + 1

---

(v) ধৰা হ'ল, দ্বিঘাত বহুপদটো ax² + bx + c আৰু ইয়াৰ শূন্য দুটা α আৰু β
আমি পাওঁ, শূন্য দুটাৰ সমষ্টি, α + β = - ⇒ = - ⇒ = . ইয়াত, a = 4 আৰু b = 1
শূন্য দুটাৰ গুণফল, αβ = ⇒ = ⇒ = ⇒ c = 1      [∵ a = 4]
গতিকে, a = 4, b = 1 আৰু c = 1 হোৱাৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰদত্ত চৰ্ত সিদ্ধ কৰা দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছে: 4x² + x + 1

---

(vi) ধৰা হ'ল, দ্বিঘাত বহুপদটো ax² + bx + c আৰু ইয়াৰ শূন্য দুটা α আৰু β
আমি পাওঁ, শূন্য দুটাৰ সমষ্টি, α + β = 4 ⇒ = 4 ⇒ = . ইয়াত, a = 1 আৰু b = -4
শূন্য দুটাৰ গুণফল, αβ = 1 ⇒ = 1 ⇒ = 1 ⇒ c = 1      [∵ a = 1]
গতিকে, a = 1, b = -4 আৰু c = 1 হোৱাৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰদত্ত চৰ্ত সিদ্ধ কৰা দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছে: x² - 4x + 1

সমাধান:
(i) প্ৰদত্ত শূন্যকেইটা হৈছে -4 আৰু
শূন্যকেইটাৰ সমষ্টি = -4 + = = -
শূন্যকেইটাৰ গুণফল = -4 × = -6
∴ নিৰ্ণেষ দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছেঃ x² - (সমষ্টি)x + গুণফল = 0
⇒ x² - (-)x + (-6) = 0
⇒ 2x² + 5x - 12 = 0

---

(ii) ইয়াত, শূন্য দুটাৰ সমষ্টি = 5 + 2 = 7
শূন্য দুটাৰ গুণফল = 5 × 2 = 10
∴ নিৰ্ণেষ দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছেঃ x² - (সমষ্টি)x + গুণফল = 0
⇒ x² - 7x + 10 = 0

---

(iii) ইয়াত, শূন্য দুটাৰ সমষ্টি = + (-1) = = -
শূন্য দুটাৰ গুণফল = × (-1) = -
∴ নিৰ্ণেষ দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছেঃ x² - (সমষ্টি)x + গুণফল = 0
⇒ x² - (-)x + (-) = 0
⇒ 3x² + 2x - 1 = 0

---

(iv) ইয়াত, শূন্য দুটাৰ সমষ্টি = + (-2) = = -
শূন্য দুটাৰ গুণফল = × (-2) = -3
∴ নিৰ্ণেষ দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছেঃ x² - (সমষ্টি)x + গুণফল = 0
⇒ x² - (-)x + (-3) = 0
⇒ 2x² + x - 6 = 0