(i) ইয়াত, প্রদত্ত অখণ্ড সংখ্যাকেইটা 135 আৰু 225।
গতিকে, ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা 225 আৰু 135 ত প্রয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
225 = 135 × 1 + 90 ঢাপ 2: যিহেতু ভাগশেষ 90 ≠ 0গতিকে, 135 আৰু 90 ত বিভাজন প্রমেয়িকা প্রয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
135 = 90 × 1 + 45 ঢাপ 3: আকৌ, যিহেতু ভাগশেষ 45 ≠ 0নতুন ভাজক 90 আৰু নতুন ভাগশেষ 45 ৰ ক্ষেত্রত বিভাজন প্রমেয়িকা প্রয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
90 = 45 × 2 + 0এই পর্যায়ত ভাগশেষ শূন্য হৈছে। যিহেতু এই পর্যায়ত ভাজক 45, গতিকে 135 আৰু 225ৰ গঃসাঃউঃ 45।
গতিকে, গঃসাঃউঃ (135, 225) = 45
135)225(
135
------
90)135(1
90
-----
45)90(2
90
----
0
(ii) ইয়াত, প্রদত্ত অখণ্ড সংখ্যাকেইটা 196 আৰু 38220।
গতিকে, 38220 আৰু 196 ৰ ক্ষেত্ৰত ইউক্লিডৰ বিভাজন প্রমেয়িকা প্রয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
38220 = 196 × 195 + 0এই পর্যায়ত ভাগশেষ শূন্য হৈছে। যিহেতু এই পর্যায়ত ভাজক 196, গতিকে, 196 আৰু 38220 ৰ গঃসাঃউঃ 196।
গতিকে, গঃসাঃউঃ (196, 38220) = 196
196)38220(
196
------
1862
1764
------
980
980
-----
0
(iii) ইয়াত প্রদত্ত অখণ্ড সংখ্যা দুটা 867 আৰু 255।
867 আৰু 255 ৰ ক্ষেত্ৰত ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্রয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
867 = 255 × 3 + 102 ঢাপ 2: যিহেতু ভাগশেষ 102 ≠ 0গতিকে 255 আৰু 102 ৰ ক্ষেত্ৰত বিভাজন প্রমেয়িকা প্রয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
255 = 102 × 2 + 51 ঢাপ 3: আকৌ, যিহেতু ভাগশেষ 51 ≠ 0,গতিকে, নতুন ভাজক 102 আৰু নতুন ভাগশেষ 51 ৰ ক্ষেত্ৰত বিভাজন প্রমেয়িকা প্রয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
102 = 51 × 2 + 0এই পর্যায়ত ভাগশেষ শূন্য হৈছে। যিহেতু এই পর্যায়ত ভাজক 51, গতিকে 867 আৰু 255 ৰ গঃসাঃউঃ 51।
গতিকে, গঃসাঃউঃ (867, 255) = 51
255)867(
765
------
102)255(2
204
-----
51)102(2
102
-----
0
(iv) 272 আৰু 1032
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকাৰ দ্বাৰা
1032 = 272 × 3 + 216 272 = 216 × 1 + 56 216 = 56 × 3 + 48 56 = 48 × 1 + 8 48 = 8 × 6 + 0∴ গঃসাঃউঃ = 8
816
-----
216)272(1
216
-----
56)216(3
168
-----
48)56(1
48
----
8)48(6
48
----
X
(v) 405 আৰু 2520
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকাৰ দ্বাৰা
2520 = 405 × 6 + 90 405 = 90 × 4 + 45 90 = 45 × 2 + 0∴ গঃসাঃউঃ = 45
2430
------
90)405(4
360
-----
45)90(2
90
----
X
(vi) 155 আৰু 1385
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকাৰ দ্বাৰা
1385 = 155 × 8 + 145 155 = 145 × 1 + 10 145 = 10 × 14 + 5 10 = 5 × 2 + 0.. গঃসাঃউঃ = 5
1240
------
145)155(1
145
-----
10)145(14
140
-----
5)10(2
10
----
X
(vii) 384 আৰু 1296
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকাৰ দ্বাৰা
1296 = 384 × 3 + 144 384 = 144 × 2 + 96 144 = 96 × 1 + 48 96 = 48 × 2 + 0... গঃসাঃউঃ = 48
1152
------
144)384(2
288
-----
96)144(1
96
-----
48)96(2
96
----
X
(viii) 1848 আৰু 3058
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকাৰ দ্বাৰা
3058 = 1848 × 1 + 1210 1848 = 1210 × 1 + 638 1210 = 638 × 1 + 572 638 = 572 × 1 + 66 572 = 66 × 8 + 44 66 = 44 × 1 + 22 44 = 22 × 2 + 0.. গঃসাঃউঃ = 22
1848
------
1210)1848(1
1210
------
638)1210(1
638
------
572)638(1
572
-----
66)572(8
528
-----
44)66(1
44
----
22)44(2
44
----
X
সমাধান: ধৰা হ'ল, a হৈছে কোনো যোগাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা আৰু b = 6
এতিয়া, a আৰু b = 6 ৰ ক্ষেত্ৰত ইউক্লিডৰ হৰণ প্ৰমেয়িকা প্রয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
a = 6q + r য'ত 0 ≤ r < 6 আৰু q হৈছে কোনো অখণ্ড সংখ্যা।∴
a = 6qবা,
a = 6q + 1 [ ∴ 0 ≤ r < 6 ⇒ r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 ]বা,
a = 6q + 2বা,
a = 6q + 3বা,
a = 6q + 4বা,
a = 6q + 5, য'ত q হৈছে ভাগফল।যিহেতু a এটা অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা আৰু 6q, 6q + 2 বা 6q + 4, 2ৰে বিভাজ্য।
∴ a ≠ 6q
আৰু, a ≠ 6q + 2
আৰু, a ≠ 6q + 4
গতিকে, কোনো যোগাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যাৰ আৰ্হি 6q + 1, বা 6q + 3, বা 6q + 5, য'ত q কোনো অখণ্ড সংখ্যা।
প্ৰমাণিত
সমাধান: 616 আৰু 32 ৰ গঃ সাঃ উঃ-য়েই হৈছে নির্ণেয় স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা।
ইয়াত, 616 > 32
এই পর্যায়ত ভাগশেষ শূন্য হৈছে। যিহেতু এই পর্যায়ত ভাজক 8,
গতিকে, 616 আৰু 32 ৰ গঃ সাঃ উঃ 8।
গতিকে, নির্ণেয় স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা 8।
টোকা: যিহেতু দুয়োটা দলে সমান সংখ্যক স্তম্ভত কদম খোজ কাঢ়িবলগীয়া হ'ল, গতিকে তেওঁলোকে খোজ কাঢ়িবলগীয়া স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা আমি নির্ণয় কৰিব লাগে। দুয়োটা দলৰ সদস্য সংখ্যাৰ গঃ সাঃ উঃ অর্থাৎ গঃসাঃউঃ (616, 32) দ্বাৰা এয়া নির্ণয় কৰিব পাৰি।
32)616(
32
----
296
288
----
8)32(4
32
----
0
সমাধান: ধৰা হ'ল, a হৈছে কোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা আৰু b = 3
এতিয়া, a আৰু b = 3 ৰ ক্ষেত্ৰত ইউক্লিডৰ বিভাজন প্রমেয়িকা প্রয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
a = 3q + r য'ত 0 ≤ r < 3 আৰু q ≥ 0, r ≥ 0এতিয়া,
r = 0 হ'লে, a = 3q
r = 1 হ'লে, a = 3q + 1
r = 2 হ'লে, a = 3q + 2
আকৌ, কোনো অখণ্ড সংখ্যা mৰ ক্ষেত্ৰত যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গৰ প্ৰকাশ ৰাশি:
a = 3q হ'লে আমি পাওঁ,
a² = (3q)² = 9q² = 3(3q²) = 3m, য'ত m = 3q²a = 3q + 1 হ'লে আমি পাওঁ,
a² = (3q + 1)² = (3q)² + 2(3q)(1) + (1)² [ ∵ (a + b)² = a² + 2ab + b² ] = 9q² + 6q + 1 = 3(3q² + 2q) + 1 = 3m + 1, য'ত m = 3q² + 2qa = 3q + 2 হ'লে আমি পাওঁ,
a² = (3q + 2)² = (3q)² + 2(3q)(2) + (2)² [ ∵ (a + b)² = a² + 2ab + b² ] = 9q² + 12q + 4 = 9q² + 12q + 3 + 1 = 3(3q² + 4q + 1) + 1 = 3m + 1, য'ত m = 3q² + 4q + 1গতিকে, কোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গফলৰ আৰ্হি হয় 3m বা 3m + 1, য'ত m এটা কোনোবা অখণ্ড সংখ্যা।
প্ৰমাণিত
সমাধান: ধৰা হ'ল, a হৈছে কোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা আৰু b = 3
এতিয়া, a আৰু b = 3 ৰ ক্ষেত্ৰত ইউক্লিডৰ বিভাজন প্রমেয়িকা প্রয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
a = 3q + r, য'ত 0 ≤ r < 3 আৰু q ≥ 0, r ≥ 0এতিয়া,
r = 0 হ'লে, a = 3q
r = 1 হ'লে, a = 3q + 1
r = 2 হ'লে, a = 3q + 2
আকৌ, কোনো অখণ্ড সংখ্যা m ৰ ক্ষেত্ৰত যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফলৰ প্ৰকাশ ৰাশি:
a = 3q হ'লে আমি পাওঁ,
a³ = (3q)³ = 27q³ = 9(3q³) = 9m, য'ত m = 3q³a = 3q + 1 হ'লে আমি পাওঁ,
a³ = (3q + 1)³ = (3q)³ + 3(3q)²(1) + 3(3q)(1)² + (1)³ [ ∵ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ] = 27q³ + 3(9q²)(1) + 3(3q)(1) + 1 = 27q³ + 27q² + 9q + 1 = 9(3q³ + 3q² + q) + 1 = 9m + 1, য'ত m = 3q³ + 3q² + qa = 3q + 2 হ'লে আমি পাওঁ,
a³ = (3q + 2)³ = (3q)³ + 3(3q)²(2) + 3(3q)(2)² + (2)³ [ ∵ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ] = 27q³ + 3(9q²)(2) + 3(3q)(4) + 8 = 27q³ + 54q² + 36q + 8 = 9(3q³ + 6q² + 4q) + 8 = 9m + 8, য'ত m = 3q³ + 6q² + 4qগতিকে, কোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফলৰ আৰ্হি 9m, 9m + 1 বা 9m + 8।
প্ৰমাণিত
সমাধান: সর্বাধিক থুপৰ সংখ্যা = গঃসাঃউঃ (625, 325) = 25
আমি পাওঁ,
625 = 325 × 1 + 300 325 = 300 × 1 + 25 300 = 25 × 12 + 0∴ সর্বাধিক থুপৰ সংখ্যা = 25
325
----
300)325(1
300
----
25)300(12
300
----
X
সমাধান: গঃসাঃউঃ (64, 80) = 16
.. ৰছীৰ টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈর্ঘ্য = গঃসাঃউঃ (64, 80) ছেঃমিঃ = 16 ছেঃমিঃ
64
----
16)64(4
64
----
X
(i) ইয়াত, প্রদত্ত অখণ্ড সংখ্যাকেইটা 135 আৰু 225।
গতিকে, ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা 225 আৰু 135 ত প্রয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
225 = 135 × 1 + 90 ঢাপ 2: যিহেতু ভাগশেষ 90 ≠ 0গতিকে, 135 আৰু 90 ত বিভাজন প্রমেয়িকা প্রয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
135 = 90 × 1 + 45 ঢাপ 3: আকৌ, যিহেতু ভাগশেষ 45 ≠ 0নতুন ভাজক 90 আৰু নতুন ভাগশেষ 45 ৰ ক্ষেত্রত বিভাজন প্রমেয়িকা প্রয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
90 = 45 × 2 + 0এই পর্যায়ত ভাগশেষ শূন্য হৈছে। যিহেতু এই পর্যায়ত ভাজক 45, গতিকে 135 আৰু 225ৰ গঃসাঃউঃ 45।
গতিকে, গঃসাঃউঃ (135, 225) = 45
135)225(
135
------
90)135(1
90
-----
45)90(2
90
----
0
(ii) ইয়াত, প্রদত্ত অখণ্ড সংখ্যাকেইটা 196 আৰু 38220।
গতিকে, 38220 আৰু 196 ৰ ক্ষেত্ৰত ইউক্লিডৰ বিভাজন প্রমেয়িকা প্রয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
38220 = 196 × 195 + 0এই পর্যায়ত ভাগশেষ শূন্য হৈছে। যিহেতু এই পর্যায়ত ভাজক 196, গতিকে, 196 আৰু 38220 ৰ গঃসাঃউঃ 196।
গতিকে, গঃসাঃউঃ (196, 38220) = 196
196)38220(
196
------
1862
1764
------
980
980
-----
0
(iii) ইয়াত প্রদত্ত অখণ্ড সংখ্যা দুটা 867 আৰু 255।
867 আৰু 255 ৰ ক্ষেত্ৰত ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্রয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
867 = 255 × 3 + 102 ঢাপ 2: যিহেতু ভাগশেষ 102 ≠ 0গতিকে 255 আৰু 102 ৰ ক্ষেত্ৰত বিভাজন প্রমেয়িকা প্রয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
255 = 102 × 2 + 51 ঢাপ 3: আকৌ, যিহেতু ভাগশেষ 51 ≠ 0,গতিকে, নতুন ভাজক 102 আৰু নতুন ভাগশেষ 51 ৰ ক্ষেত্ৰত বিভাজন প্রমেয়িকা প্রয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
102 = 51 × 2 + 0এই পর্যায়ত ভাগশেষ শূন্য হৈছে। যিহেতু এই পর্যায়ত ভাজক 51, গতিকে 867 আৰু 255 ৰ গঃসাঃউঃ 51।
গতিকে, গঃসাঃউঃ (867, 255) = 51
255)867(
765
------
102)255(2
204
-----
51)102(2
102
-----
0
(iv) 272 আৰু 1032
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকাৰ দ্বাৰা
1032 = 272 × 3 + 216 272 = 216 × 1 + 56 216 = 56 × 3 + 48 56 = 48 × 1 + 8 48 = 8 × 6 + 0∴ গঃসাঃউঃ = 8
816
-----
216)272(1
216
-----
56)216(3
168
-----
48)56(1
48
----
8)48(6
48
----
X
(v) 405 আৰু 2520
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকাৰ দ্বাৰা
2520 = 405 × 6 + 90 405 = 90 × 4 + 45 90 = 45 × 2 + 0∴ গঃসাঃউঃ = 45
2430
------
90)405(4
360
-----
45)90(2
90
----
X
(vi) 155 আৰু 1385
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকাৰ দ্বাৰা
1385 = 155 × 8 + 145 155 = 145 × 1 + 10 145 = 10 × 14 + 5 10 = 5 × 2 + 0.. গঃসাঃউঃ = 5
1240
------
145)155(1
145
-----
10)145(14
140
-----
5)10(2
10
----
X
(vii) 384 আৰু 1296
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকাৰ দ্বাৰা
1296 = 384 × 3 + 144 384 = 144 × 2 + 96 144 = 96 × 1 + 48 96 = 48 × 2 + 0... গঃসাঃউঃ = 48
1152
------
144)384(2
288
-----
96)144(1
96
-----
48)96(2
96
----
X
(viii) 1848 আৰু 3058
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকাৰ দ্বাৰা
3058 = 1848 × 1 + 1210 1848 = 1210 × 1 + 638 1210 = 638 × 1 + 572 638 = 572 × 1 + 66 572 = 66 × 8 + 44 66 = 44 × 1 + 22 44 = 22 × 2 + 0.. গঃসাঃউঃ = 22
1848
------
1210)1848(1
1210
------
638)1210(1
638
------
572)638(1
572
-----
66)572(8
528
-----
44)66(1
44
----
22)44(2
44
----
X
সমাধান: ধৰা হ'ল, a হৈছে কোনো যোগাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা আৰু b = 6
এতিয়া, a আৰু b = 6 ৰ ক্ষেত্ৰত ইউক্লিডৰ হৰণ প্ৰমেয়িকা প্রয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
a = 6q + r য'ত 0 ≤ r < 6 আৰু q হৈছে কোনো অখণ্ড সংখ্যা।∴
a = 6qবা,
a = 6q + 1 [ ∴ 0 ≤ r < 6 ⇒ r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 ]বা,
a = 6q + 2বা,
a = 6q + 3বা,
a = 6q + 4বা,
a = 6q + 5, য'ত q হৈছে ভাগফল।যিহেতু a এটা অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা আৰু 6q, 6q + 2 বা 6q + 4, 2ৰে বিভাজ্য।
∴ a ≠ 6q
আৰু, a ≠ 6q + 2
আৰু, a ≠ 6q + 4
গতিকে, কোনো যোগাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যাৰ আৰ্হি 6q + 1, বা 6q + 3, বা 6q + 5, য'ত q কোনো অখণ্ড সংখ্যা।
প্ৰমাণিত
সমাধান: 616 আৰু 32 ৰ গঃ সাঃ উঃ-য়েই হৈছে নির্ণেয় স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা।
ইয়াত, 616 > 32
এই পর্যায়ত ভাগশেষ শূন্য হৈছে। যিহেতু এই পর্যায়ত ভাজক 8,
গতিকে, 616 আৰু 32 ৰ গঃ সাঃ উঃ 8।
গতিকে, নির্ণেয় স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা 8।
টোকা: যিহেতু দুয়োটা দলে সমান সংখ্যক স্তম্ভত কদম খোজ কাঢ়িবলগীয়া হ'ল, গতিকে তেওঁলোকে খোজ কাঢ়িবলগীয়া স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা আমি নির্ণয় কৰিব লাগে। দুয়োটা দলৰ সদস্য সংখ্যাৰ গঃ সাঃ উঃ অর্থাৎ গঃসাঃউঃ (616, 32) দ্বাৰা এয়া নির্ণয় কৰিব পাৰি।
32)616(
32
----
296
288
----
8)32(4
32
----
0
সমাধান: ধৰা হ'ল, a হৈছে কোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা আৰু b = 3
এতিয়া, a আৰু b = 3 ৰ ক্ষেত্ৰত ইউক্লিডৰ বিভাজন প্রমেয়িকা প্রয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
a = 3q + r য'ত 0 ≤ r < 3 আৰু q ≥ 0, r ≥ 0এতিয়া,
r = 0 হ'লে, a = 3q
r = 1 হ'লে, a = 3q + 1
r = 2 হ'লে, a = 3q + 2
আকৌ, কোনো অখণ্ড সংখ্যা mৰ ক্ষেত্ৰত যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গৰ প্ৰকাশ ৰাশি:
a = 3q হ'লে আমি পাওঁ,
a² = (3q)² = 9q² = 3(3q²) = 3m, য'ত m = 3q²a = 3q + 1 হ'লে আমি পাওঁ,
a² = (3q + 1)² = (3q)² + 2(3q)(1) + (1)² [ ∵ (a + b)² = a² + 2ab + b² ] = 9q² + 6q + 1 = 3(3q² + 2q) + 1 = 3m + 1, য'ত m = 3q² + 2qa = 3q + 2 হ'লে আমি পাওঁ,
a² = (3q + 2)² = (3q)² + 2(3q)(2) + (2)² [ ∵ (a + b)² = a² + 2ab + b² ] = 9q² + 12q + 4 = 9q² + 12q + 3 + 1 = 3(3q² + 4q + 1) + 1 = 3m + 1, য'ত m = 3q² + 4q + 1গতিকে, কোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গফলৰ আৰ্হি হয় 3m বা 3m + 1, য'ত m এটা কোনোবা অখণ্ড সংখ্যা।
প্ৰমাণিত
সমাধান: ধৰা হ'ল, a হৈছে কোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা আৰু b = 3
এতিয়া, a আৰু b = 3 ৰ ক্ষেত্ৰত ইউক্লিডৰ বিভাজন প্রমেয়িকা প্রয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
a = 3q + r, য'ত 0 ≤ r < 3 আৰু q ≥ 0, r ≥ 0এতিয়া,
r = 0 হ'লে, a = 3q
r = 1 হ'লে, a = 3q + 1
r = 2 হ'লে, a = 3q + 2
আকৌ, কোনো অখণ্ড সংখ্যা m ৰ ক্ষেত্ৰত যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফলৰ প্ৰকাশ ৰাশি:
a = 3q হ'লে আমি পাওঁ,
a³ = (3q)³ = 27q³ = 9(3q³) = 9m, য'ত m = 3q³a = 3q + 1 হ'লে আমি পাওঁ,
a³ = (3q + 1)³ = (3q)³ + 3(3q)²(1) + 3(3q)(1)² + (1)³ [ ∵ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ] = 27q³ + 3(9q²)(1) + 3(3q)(1) + 1 = 27q³ + 27q² + 9q + 1 = 9(3q³ + 3q² + q) + 1 = 9m + 1, য'ত m = 3q³ + 3q² + qa = 3q + 2 হ'লে আমি পাওঁ,
a³ = (3q + 2)³ = (3q)³ + 3(3q)²(2) + 3(3q)(2)² + (2)³ [ ∵ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ] = 27q³ + 3(9q²)(2) + 3(3q)(4) + 8 = 27q³ + 54q² + 36q + 8 = 9(3q³ + 6q² + 4q) + 8 = 9m + 8, য'ত m = 3q³ + 6q² + 4qগতিকে, কোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফলৰ আৰ্হি 9m, 9m + 1 বা 9m + 8।
প্ৰমাণিত
সমাধান: সর্বাধিক থুপৰ সংখ্যা = গঃসাঃউঃ (625, 325) = 25
আমি পাওঁ,
625 = 325 × 1 + 300 325 = 300 × 1 + 25 300 = 25 × 12 + 0∴ সর্বাধিক থুপৰ সংখ্যা = 25
325
----
300)325(1
300
----
25)300(12
300
----
X
সমাধান: গঃসাঃউঃ (64, 80) = 16
.. ৰছীৰ টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈর্ঘ্য = গঃসাঃউঃ (64, 80) ছেঃমিঃ = 16 ছেঃমিঃ
64
----
16)64(4
64
----
X
• অনুশীলনী 1.2
1. প্রতিটো সংখ্যাকে ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদকবোৰৰ গুণফল হিচাপে প্রকাশ কৰাঃ
(i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429
সমাধান:
(i)
মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ ক্ষেত্ৰত উৎপাদক বৃক্ষ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ,
140
/ \
2 70
/ \
2 35
/ \
5 7
∴ 140 = 2 × 2 × 5 × 7
= 22 × 51 × 71
= 22 × 5 × 7
(ii) মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ ক্ষেত্ৰত উৎপাদক বৃক্ষ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ,
156
/ \
2 78
/ \
2 39
/ \
3 13
∴ 156 = 2 × 2 × 3 × 13
= 22 × 31 × 131
= 22 × 3 × 13
(iii) মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ ক্ষেত্ৰত উৎপাদক বৃক্ষ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ,
3825
/ \
3 1275
/ \
3 425
/ \
5 85
/ \
5 17
∴ 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17
= 32 × 52 × 171
= 32 × 52 × 17
(iv) মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ ক্ষেত্ৰত উৎপাদক বৃক্ষ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ,
5005
/ \
5 1001
/ \
7 143
/ \
11 13
∴ 5005 = 5 × 7 × 11 × 13
(v) মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ ক্ষেত্ৰত উৎপাদক বৃক্ষ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ,
7429
/ \
17 437
/ \
19 23
∴ 7429 = 17 × 19 × 23
টোকা: আগৰ শ্ৰেণীসমূহত ছাত্র-ছাত্রীসকলে মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ হৰণ পদ্ধতি সম্পর্কে জানি আহিছে। গতিকে, তোমালোকে খচৰা ৰূপত গণনা কৰি উৎপাদক বৃক্ষত দেখুৱাৰ দৰে মানবিলাক উপস্থাপন কৰিবাঃ এই মানকেইটা উৎপাদক বৃক্ষৰ বাঁоফালে আৰু সোঁফালে আছে।
2. তলৰ অখণ্ড সংখ্যাকেইযোৰৰ লঃ সাঃ গুঃ আৰু গঃ সাঃ উঃ উলিওৱা। সত্যাপন কৰা যে লঃ সাঃ গুঃ × গঃ সাঃ উঃ = সংখ্যা দুটাৰ গুণফল।
(i) 26 আৰু 91 (ii) 510 আৰু 92 (iii) 336 আৰু 54
সমাধান:
(i) মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ বাবে উৎপাদক বৃক্ষ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ,
∴ 26 = 2 × 13
= 21 × 131
∴ 91 = 7 × 13
= 71 × 131
∴ লঃ সাঃ গুঃ (26, 91) = 21 × 71 × 131
= 2 × 7 × 13
= 182
আৰু গঃ সাঃ উঃ (26, 91) = 131
= 13
সত্যাপন:
লঃ সাঃ গুঃ (26, 91) × গঃ সাঃ উঃ (26, 91) = 182 × 13
= 2366
প্রদত্ত সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল = 26 × 91 = 2366
∴ লঃ সাঃ গুঃ × গঃ সাঃ উঃ = সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল
সত্যাপন কৰা হ'ল
(ii) মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ বাবে উৎপাদক বৃক্ষ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ,
510 = 2 × 3 × 5 × 17
= 21 × 31 × 51 × 171
92 = 2 × 2 × 23
= 22 × 231
∴ লঃ সাঃ গুঃ (510, 92) = 22 × 31 × 51 × 171 × 231
= 4 × 3 × 5 × 17 × 23
= 23460
আৰু গঃ সাঃ উঃ (510, 92) = 21
= 2
সত্যাপন:
লঃ সাঃ গুঃ (510, 92) × গঃ সাঃ উঃ (510, 92) = 23460 × 2
প্রদত্ত সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল = 510 × 92
= 46920
= 46920
∴ লঃ সাঃ গুঃ × গঃ সাঃ উঃ = সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল
sত্যাপন কৰাহ'ল
(iii) মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ বাবে উৎপাদক বৃক্ষ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ,
336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7
= 24 × 31 × 71
54 = 2 × 3 × 3 × 3
= 21 × 33
∴ লঃ সাঃ গুঃ (336, 54) = 24 × 33 × 71
= 16 × 27 × 7
= 3024
আৰু গঃ সাঃ উঃ (336, 54) = 21 × 31
= 2 × 3
= 6
সত্যাপন:
লঃ সাঃ গুঃ (336, 54) × গঃ সাঃ উঃ (336, 54) = 3024 × 6
প্রদত্ত সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল = 336 × 54
= 18144
∴ লঃ সাঃ গুঃ × গঃ সাঃ উঃ = সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল
= 18144
সত্যাপন কৰা হ'ল
3. মৌলিক উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ অখণ্ড সংখ্যাবোৰৰ লঃ সাঃ গুঃ আৰু গঃ সাঃ উঃ উলিওৱা।
(i) 12, 15 আৰু 21 (ii) 17, 23 আৰু 29 (iii) 8, 9 আৰু 25
সমাধান:
(i) আমি পাওঁ,
12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 31
15 = 3 × 5 = 31 × 51
21 = 3 × 7 = 31 × 71
∴ লঃ সাঃ গুঃ (12, 15, 21) = 22 × 31 × 51 × 71
= 4 × 3 × 5 × 7
= 420
গঃ সাঃ উঃ (12, 15, 21) = 31
= 3
(ii) আমি পাওঁ,
17 = 1 × 17 = 11 × 171
23 = 1 × 23 = 11 × 231
29 = 1 × 29 = 11 × 291
∴ লঃ সাঃ গুঃ (17, 23, 29) = 11 × 171 × 231 × 291
= 1 × 17 × 23 × 29
= 11339
গঃ সাঃ উঃ (17, 23, 29) = 11
= 1
(iii) আমি পাওঁ
8 = 2 × 2 × 2 = 23
9 = 3 × 3 = 32
25 = 5 × 5 = 52
∴ লঃ সাঃ গুঃ (8, 9, 25) = 23 × 32 × 52
= 8 × 9 × 25
= 1800
গঃ সাঃ উঃ (8, 9, 25) = 1
4. দিয়া আছে গঃ সাঃ উঃ (306, 657) = 9, লঃ সাঃ গুঃ (306, 657) উলিওৱা।
সমাধান: আমি জানো,
লঃ সাঃ গুঃ × গঃ সাঃ উঃ = সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল
∴ লঃ সাঃ গুঃ (306, 657) × গঃ সাঃ উঃ (306, 657) = 306 × 657
⇒ লঃ সাঃ গুঃ (306, 657) × 9 = 306 × 657
⇒ লঃ সাঃ গুঃ (306, 657) = (306 × 657) / 9
∴ লঃ সাঃ গুঃ (306, 657) = 22338
5. পৰীক্ষা কৰা, কোনোবা স্বাভাবিক সংখ্যা n ৰ ক্ষেত্ৰত 6n সংখ্যাটো 0 অংকেৰে শেষ হ'ব পাৰেনে নাই।
সমাধান: পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য মতে, প্রত্যেক যৌগিক সংখ্যাক মৌলিক সংখ্যাৰ পূৰণফল হিচাপে প্রকাশ কৰিব পাৰি।' মৌলিক উৎপাদকবোৰ প্ৰকাশ পোৱা ক্ৰমৰ বাদে এই উৎপাদকীকৰণ অনন্য।
আমি জানো যে কোনো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা 5 ৰে বিভাজ্য হ'ব যদি অখণ্ড সংখ্যাটোৰ শেষৰ অংকটো শূন্য হয়। গতিকে, যদি 6n সংখ্যাটো 0 ৰে সমাপ্ত হয় (কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা n ৰ ক্ষেত্ৰত), তেন্তে 6n ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণত মৌলিক সংখ্যা 5 থাকে।
এতিয়া, 6n = (2 × 3)n = 2n × 3n
গতিকে, পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্যৰ অনন্যতাৰ দ্বাৰা 6n ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণত মৌলিক সংখ্যা দুটা 2 আৰু 3, কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা n ৰ বাবে 6n ৰ মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণত 5 আবিৰ্ভাৱ নহয়।
গতিকে, কোনোবা স্বাভাৱিক সংখ্যা n ৰ ক্ষেত্ৰত 6n সংখ্যাটো 0 অংকেৰে শেষ হ'ব নোৱাৰে।
6. 7 × 11 × 13 + 13 আৰু 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 সংখ্যা দুটা কিয় যৌগিক সংখ্যা, ব্যাখ্যা কৰা।
সমাধান: আমি পাওঁ,
7 × 11 × 13 + 13
= 13(7 × 11 × 1 + 1)
= 13(77 + 1)
= 13 × 78
= 13 × 2 × 3 × 13
= 2 × 3 × 132 , য'ত 2, 3 আৰু 13 মৌলিক সংখ্যা
আকৌ, 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5
= 5(7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)
= 5(1008 + 1)
= 5 × 1009, য'ত 5 আৰু 1009 মৌলিক সংখ্যা।
এতিয়া, পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য অনুসৰি প্রতিটো যৌগিক সংখ্যাক মৌলিক সংখ্যাৰ পূৰণফল হিচাপে বিশ্লেষণ কৰিব পাৰি। গতিকে, 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 আৰু 7 × 11 × 13 + 13 যৌগিক সংখ্যা।
7. এখন খেল পথাৰৰ চাৰিওপিনে এটা বৃত্তাকাৰ পথ। খেল পথাৰখন গাড়ীৰে এবাৰ ঘূৰিবলৈ ছোনিয়াৰ 18 মিনিট লাগে, য'ত একেটা ঘূৰণতে ৰবিৰ লাগে 12 মিনিট। ধৰা তেۆঁলোকে একেটা বিন্দুতে একে সময়তে আৰু একেটা দিশত যাত্ৰা আৰম্ভ কৰে। কিমান মিনিট পিছত তেওঁলোক আকৌ আৰম্ভণিৰ বিন্দুটোত লগ লাগিব?
সমাধান: দিয়া আছে,
বৃত্তাকাৰ পথটোৰে এপাক ঘুৰিবলৈ ছোনিয়াক সময় লাগে = 18 মিনিট
বৃত্তাকাৰ পথটোৰে এপাক ঘুৰিবলৈ ৰবিক সময় লাগে = 12 মিনিট
এতিয়া, যদি সিহঁতে একেটা বিন্দুৰ পৰা একে সময়তে আৰু একে দিশত গতি কৰে, তেন্তে প্রয়োজনীয় মিনিটৰ পৰিমাণ 18 আৰু 12 ৰ লঃ সাঃ গুঃৰ সমান।
এতিয়া, 18 = 2 × 3 × 3 = 21 × 32
আৰু 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 31
লঃ সাঃ গুঃ (18, 12) = 22 × 32
= 4 × 9
= 36
গতিকে, ছোনিয়া আৰু ৰবিয়ে 36 মিনিটৰ পিছত আৰম্ভণিৰ বিন্দুটোত লগ লাগিব।
8. (i) এটা বেজিমেণ্টত থকা সৈনিকবোৰক 15, 20 বা 25 জনকৈ লৈ কিছুমান শাৰীত থিয় কৰাব পাৰি। ৰেজিমেন্টটোত অতি কমেও কিমানজন সৈনিক আছে?
সমাধান:
(i) লঃсаঃগুঃ (15, 20, 25) নির্ধাৰণ:
| 5 | 15, 20, 25 |
| 3, 4, 5 |
লঃসাঃগুঃ = 3 × 5 × 4 × 5
= 300
.. ৰেজিমেণ্টটোত থকা ন্যূনতম সৈনিকৰ সংখ্যা = লঃсаঃগুঃ (15, 20, 25) = 300
(ii) এটা ঘণ্টা 18 ছেকেণ্ড আৰু আন এটা ঘণ্টা 60 ছেকেণ্ডৰ অন্তৰালত বাজে। কোনো এক সময়ত দুয়োটা ঘণ্টা একেলগে বাজিলে তাৰ কিমান ছেকেণ্ড পিছত ঘণ্টাদুটা পুনৰ একেলগে বাজিব?
18 আৰু 60 ৰ লঃসাঃগুঃ নির্ধাৰণঃ
| 2 | 18, 60 |
| 3 | 9, 30 |
| 3, 10 |
লঃсаঃগুঃ = 2 × 3 × 3 × 10
= 180
.. দুয়োটা ঘণ্টা একেলগে পুনৰ মিনিট পিছত বাজিব।
লঃсаঃগুঃ = (18, 60) ছেকেণ্ড
= 180 ছেকেণ্ড
= 3 মিনিট
(iii) এটা অনাতাঁৰ কেন্দ্ৰই প্ৰতি দুদিনৰ মূৰে মূৰে "অসম সংগীত"টো বজায়। আন এটা কেন্দ্রই একেটা সংগীত প্রতি তিনি দিনৰ মূৰে মূৰে বজায়। 30 দিনত মুঠতে কিমানবাৰ দুয়োটা অনাতাঁৰ কেন্দ্ৰই একেটা দিনত সংগীতটো বজাব?
(iii)
| তাৰিখ | প্রথম কেন্দ্ৰৰ পৰিৱেশন | দ্বিতীয় কেন্দ্ৰৰ পৰিৱেশন |
|---|---|---|
| 1 | ✓ | ✓ |
| 2 | X | X |
| 3 | X | X |
| 4 | ✓ | X |
| 5 | X | ✓ |
| 6 | X | X |
| 7 | ✓ | X |
| 8 | X | X |
| 9 | X | ✓ |
| 10 | ✓ | X |
| 11 | X | X |
| 12 | X | X |
| 13 | ✓ | ✓ |
| 14 | X | X |
| 15 | X | X |
| 16 | ✓ | X |
| তাৰিখ | প্রথম কেন্দ্ৰৰ পৰিবেশন | দ্বিতীয় কেন্দ্ৰৰ পৰিবেশন |
|---|---|---|
| 17 | X | ✓ |
| 18 | X | X |
| 19 | ✓ | X |
| 20 | X | X |
| 21 | X | ✓ |
| 22 | X | |
| 23 | X | X |
| 24 | X | X |
| 25 | ✓ | ✓ |
| 26 | X | X |
| 27 | X | X |
| 28 | ✓ | X |
| 29 | X | ✓ |
| 30 | X | X |
오պৰৰ তালিকাত আমি প্রত্যক্ষ কৰিলো যে দুয়োটা অনাতাঁৰ কেন্দ্ৰই 30 দিনত মুঠতে তিনিবাৰ একেটা দিনত সংগীতটো বজাব।
• অনুশীলনী 1.2
1. প্রতিটো সংখ্যাকে ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদকবোৰৰ গুণফল হিচাপে প্রকাশ কৰাঃ
(i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429
সমাধান:
(i)
মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ ক্ষেত্ৰত উৎপাদক বৃক্ষ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ,
140
/ \
2 70
/ \
2 35
/ \
5 7
∴ 140 = 2 × 2 × 5 × 7
= 22 × 51 × 71
= 22 × 5 × 7
(ii) মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ ক্ষেত্ৰত উৎপাদক বৃক্ষ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ,
156
/ \
2 78
/ \
2 39
/ \
3 13
∴ 156 = 2 × 2 × 3 × 13
= 22 × 31 × 131
= 22 × 3 × 13
(iii) মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ ক্ষেত্ৰত উৎপাদক বৃক্ষ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ,
3825
/ \
3 1275
/ \
3 425
/ \
5 85
/ \
5 17
∴ 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17
= 32 × 52 × 171
= 32 × 52 × 17
(iv) মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ ক্ষেত্ৰত উৎপাদক বৃক্ষ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ,
5005
/ \
5 1001
/ \
7 143
/ \
11 13
∴ 5005 = 5 × 7 × 11 × 13
(v) মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ ক্ষেত্ৰত উৎপাদক বৃক্ষ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ,
7429
/ \
17 437
/ \
19 23
∴ 7429 = 17 × 19 × 23
টোকা: আগৰ শ্ৰেণীসমূহত ছাত্র-ছাত্রীসকলে মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ হৰণ পদ্ধতি সম্পর্কে জানি আহিছে। গতিকে, তোমালোকে খচৰা ৰূপত গণনা কৰি উৎপাদক বৃক্ষত দেখুৱাৰ দৰে মানবিলাক উপস্থাপন কৰিবাঃ এই মানকেইটা উৎপাদক বৃক্ষৰ বাঁоফালে আৰু সোঁফালে আছে।
2. তলৰ অখণ্ড সংখ্যাকেইযোৰৰ লঃ সাঃ গুঃ আৰু গঃ সাঃ উঃ উলিওৱা। সত্যাপন কৰা যে লঃ সাঃ গুঃ × গঃ সাঃ উঃ = সংখ্যা দুটাৰ গুণফল।
(i) 26 আৰু 91 (ii) 510 আৰু 92 (iii) 336 আৰু 54
সমাধান:
(i) মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ বাবে উৎপাদক বৃক্ষ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ,
∴ 26 = 2 × 13
= 21 × 131
∴ 91 = 7 × 13
= 71 × 131
∴ লঃ সাঃ গুঃ (26, 91) = 21 × 71 × 131
= 2 × 7 × 13
= 182
আৰু গঃ সাঃ উঃ (26, 91) = 131
= 13
সত্যাপন:
লঃ সাঃ গুঃ (26, 91) × গঃ সাঃ উঃ (26, 91) = 182 × 13
= 2366
প্রদত্ত সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল = 26 × 91 = 2366
∴ লঃ সাঃ গুঃ × গঃ সাঃ উঃ = সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল
সত্যাপন কৰা হ'ল
(ii) মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ বাবে উৎপাদক বৃক্ষ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ,
510 = 2 × 3 × 5 × 17
= 21 × 31 × 51 × 171
92 = 2 × 2 × 23
= 22 × 231
∴ লঃ সাঃ গুঃ (510, 92) = 22 × 31 × 51 × 171 × 231
= 4 × 3 × 5 × 17 × 23
= 23460
আৰু গঃ সাঃ উঃ (510, 92) = 21
= 2
সত্যাপন:
লঃ সাঃ গুঃ (510, 92) × গঃ সাঃ উঃ (510, 92) = 23460 × 2
প্রদত্ত সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল = 510 × 92
= 46920
= 46920
∴ লঃ সাঃ গুঃ × গঃ সাঃ উঃ = সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল
sত্যাপন কৰাহ'ল
(iii) মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ বাবে উৎপাদক বৃক্ষ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ,
336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7
= 24 × 31 × 71
54 = 2 × 3 × 3 × 3
= 21 × 33
∴ লঃ সাঃ গুঃ (336, 54) = 24 × 33 × 71
= 16 × 27 × 7
= 3024
আৰু গঃ সাঃ উঃ (336, 54) = 21 × 31
= 2 × 3
= 6
সত্যাপন:
লঃ সাঃ গুঃ (336, 54) × গঃ সাঃ উঃ (336, 54) = 3024 × 6
প্রদত্ত সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল = 336 × 54
= 18144
∴ লঃ সাঃ গুঃ × গঃ সাঃ উঃ = সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল
= 18144
সত্যাপন কৰা হ'ল
3. মৌলিক উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ অখণ্ড সংখ্যাবোৰৰ লঃ সাঃ গুঃ আৰু গঃ সাঃ উঃ উলিওৱা।
(i) 12, 15 আৰু 21 (ii) 17, 23 আৰু 29 (iii) 8, 9 আৰু 25
সমাধান:
(i) আমি পাওঁ,
12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 31
15 = 3 × 5 = 31 × 51
21 = 3 × 7 = 31 × 71
∴ লঃ সাঃ গুঃ (12, 15, 21) = 22 × 31 × 51 × 71
= 4 × 3 × 5 × 7
= 420
গঃ সাঃ উঃ (12, 15, 21) = 31
= 3
(ii) আমি পাওঁ,
17 = 1 × 17 = 11 × 171
23 = 1 × 23 = 11 × 231
29 = 1 × 29 = 11 × 291
∴ লঃ সাঃ গুঃ (17, 23, 29) = 11 × 171 × 231 × 291
= 1 × 17 × 23 × 29
= 11339
গঃ সাঃ উঃ (17, 23, 29) = 11
= 1
(iii) আমি পাওঁ
8 = 2 × 2 × 2 = 23
9 = 3 × 3 = 32
25 = 5 × 5 = 52
∴ লঃ সাঃ গুঃ (8, 9, 25) = 23 × 32 × 52
= 8 × 9 × 25
= 1800
গঃ সাঃ উঃ (8, 9, 25) = 1
4. দিয়া আছে গঃ সাঃ উঃ (306, 657) = 9, লঃ সাঃ গুঃ (306, 657) উলিওৱা।
সমাধান: আমি জানো,
লঃ সাঃ গুঃ × গঃ সাঃ উঃ = সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল
∴ লঃ সাঃ গুঃ (306, 657) × গঃ সাঃ উঃ (306, 657) = 306 × 657
⇒ লঃ সাঃ গুঃ (306, 657) × 9 = 306 × 657
⇒ লঃ সাঃ গুঃ (306, 657) = (306 × 657) / 9
∴ লঃ সাঃ গুঃ (306, 657) = 22338
5. পৰীক্ষা কৰা, কোনোবা স্বাভাবিক সংখ্যা n ৰ ক্ষেত্ৰত 6n সংখ্যাটো 0 অংকেৰে শেষ হ'ব পাৰেনে নাই।
সমাধান: পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য মতে, প্রত্যেক যৌগিক সংখ্যাক মৌলিক সংখ্যাৰ পূৰণফল হিচাপে প্রকাশ কৰিব পাৰি।' মৌলিক উৎপাদকবোৰ প্ৰকাশ পোৱা ক্ৰমৰ বাদে এই উৎপাদকীকৰণ অনন্য।
আমি জানো যে কোনো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা 5 ৰে বিভাজ্য হ'ব যদি অখণ্ড সংখ্যাটোৰ শেষৰ অংকটো শূন্য হয়। গতিকে, যদি 6n সংখ্যাটো 0 ৰে সমাপ্ত হয় (কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা n ৰ ক্ষেত্ৰত), তেন্তে 6n ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণত মৌলিক সংখ্যা 5 থাকে।
এতিয়া, 6n = (2 × 3)n = 2n × 3n
গতিকে, পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্যৰ অনন্যতাৰ দ্বাৰা 6n ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণত মৌলিক সংখ্যা দুটা 2 আৰু 3, কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা n ৰ বাবে 6n ৰ মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণত 5 আবিৰ্ভাৱ নহয়।
গতিকে, কোনোবা স্বাভাৱিক সংখ্যা n ৰ ক্ষেত্ৰত 6n সংখ্যাটো 0 অংকেৰে শেষ হ'ব নোৱাৰে।
6. 7 × 11 × 13 + 13 আৰু 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 সংখ্যা দুটা কিয় যৌগিক সংখ্যা, ব্যাখ্যা কৰা।
সমাধান: আমি পাওঁ,
7 × 11 × 13 + 13
= 13(7 × 11 × 1 + 1)
= 13(77 + 1)
= 13 × 78
= 13 × 2 × 3 × 13
= 2 × 3 × 132 , য'ত 2, 3 আৰু 13 মৌলিক সংখ্যা
আকৌ, 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5
= 5(7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)
= 5(1008 + 1)
= 5 × 1009, য'ত 5 আৰু 1009 মৌলিক সংখ্যা।
এতিয়া, পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য অনুসৰি প্রতিটো যৌগিক সংখ্যাক মৌলিক সংখ্যাৰ পূৰণফল হিচাপে বিশ্লেষণ কৰিব পাৰি। গতিকে, 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 আৰু 7 × 11 × 13 + 13 যৌগিক সংখ্যা।
7. এখন খেল পথাৰৰ চাৰিওপিনে এটা বৃত্তাকাৰ পথ। খেল পথাৰখন গাড়ীৰে এবাৰ ঘূৰিবলৈ ছোনিয়াৰ 18 মিনিট লাগে, য'ত একেটা ঘূৰণতে ৰবিৰ লাগে 12 মিনিট। ধৰা তেۆঁলোকে একেটা বিন্দুতে একে সময়তে আৰু একেটা দিশত যাত্ৰা আৰম্ভ কৰে। কিমান মিনিট পিছত তেওঁলোক আকৌ আৰম্ভণিৰ বিন্দুটোত লগ লাগিব?
সমাধান: দিয়া আছে,
বৃত্তাকাৰ পথটোৰে এপাক ঘুৰিবলৈ ছোনিয়াক সময় লাগে = 18 মিনিট
বৃত্তাকাৰ পথটোৰে এপাক ঘুৰিবলৈ ৰবিক সময় লাগে = 12 মিনিট
এতিয়া, যদি সিহঁতে একেটা বিন্দুৰ পৰা একে সময়তে আৰু একে দিশত গতি কৰে, তেন্তে প্রয়োজনীয় মিনিটৰ পৰিমাণ 18 আৰু 12 ৰ লঃ সাঃ গুঃৰ সমান।
এতিয়া, 18 = 2 × 3 × 3 = 21 × 32
আৰু 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 31
লঃ সাঃ গুঃ (18, 12) = 22 × 32
= 4 × 9
= 36
গতিকে, ছোনিয়া আৰু ৰবিয়ে 36 মিনিটৰ পিছত আৰম্ভণিৰ বিন্দুটোত লগ লাগিব।
8. (i) এটা বেজিমেণ্টত থকা সৈনিকবোৰক 15, 20 বা 25 জনকৈ লৈ কিছুমান শাৰীত থিয় কৰাব পাৰি। ৰেজিমেন্টটোত অতি কমেও কিমানজন সৈনিক আছে?
সমাধান:
(i) লঃсаঃগুঃ (15, 20, 25) নির্ধাৰণ:
| 5 | 15, 20, 25 |
| 3, 4, 5 |
লঃসাঃগুঃ = 3 × 5 × 4 × 5
= 300
.. ৰেজিমেণ্টটোত থকা ন্যূনতম সৈনিকৰ সংখ্যা = লঃсаঃগুঃ (15, 20, 25) = 300
(ii) এটা ঘণ্টা 18 ছেকেণ্ড আৰু আন এটা ঘণ্টা 60 ছেকেণ্ডৰ অন্তৰালত বাজে। কোনো এক সময়ত দুয়োটা ঘণ্টা একেলগে বাজিলে তাৰ কিমান ছেকেণ্ড পিছত ঘণ্টাদুটা পুনৰ একেলগে বাজিব?
18 আৰু 60 ৰ লঃসাঃগুঃ নির্ধাৰণঃ
| 2 | 18, 60 |
| 3 | 9, 30 |
| 3, 10 |
লঃсаঃগুঃ = 2 × 3 × 3 × 10
= 180
.. দুয়োটা ঘণ্টা একেলগে পুনৰ মিনিট পিছত বাজিব।
লঃсаঃগুঃ = (18, 60) ছেকেণ্ড
= 180 ছেকেণ্ড
= 3 মিনিট
(iii) এটা অনাতাঁৰ কেন্দ্ৰই প্ৰতি দুদিনৰ মূৰে মূৰে "অসম সংগীত"টো বজায়। আন এটা কেন্দ্রই একেটা সংগীত প্রতি তিনি দিনৰ মূৰে মূৰে বজায়। 30 দিনত মুঠতে কিমানবাৰ দুয়োটা অনাতাঁৰ কেন্দ্ৰই একেটা দিনত সংগীতটো বজাব?
(iii)
| তাৰিখ | প্রথম কেন্দ্ৰৰ পৰিৱেশন | দ্বিতীয় কেন্দ্ৰৰ পৰিৱেশন |
|---|---|---|
| 1 | ✓ | ✓ |
| 2 | X | X |
| 3 | X | X |
| 4 | ✓ | X |
| 5 | X | ✓ |
| 6 | X | X |
| 7 | ✓ | X |
| 8 | X | X |
| 9 | X | ✓ |
| 10 | ✓ | X |
| 11 | X | X |
| 12 | X | X |
| 13 | ✓ | ✓ |
| 14 | X | X |
| 15 | X | X |
| 16 | ✓ | X |
| তাৰিখ | প্রথম কেন্দ্ৰৰ পৰিবেশন | দ্বিতীয় কেন্দ্ৰৰ পৰিবেশন |
|---|---|---|
| 17 | X | ✓ |
| 18 | X | X |
| 19 | ✓ | X |
| 20 | X | X |
| 21 | X | ✓ |
| 22 | X | |
| 23 | X | X |
| 24 | X | X |
| 25 | ✓ | ✓ |
| 26 | X | X |
| 27 | X | X |
| 28 | ✓ | X |
| 29 | X | ✓ |
| 30 | X | X |
오պৰৰ তালিকাত আমি প্রত্যক্ষ কৰিলো যে দুয়োটা অনাতাঁৰ কেন্দ্ৰই 30 দিনত মুঠতে তিনিবাৰ একেটা দিনত সংগীতটো বজাব।
সমাধান: বিৰুদ্ধভাৱে ধৰা হ'ল, √5 পৰিমেয়।
তেনে ক্ষেত্ৰত p আৰু q (q ≠ 0) সহমৌলিক দুটা পাব পাৰো যাতে
5 য়ে p² ক ভাগ কৰে।
উপপাদ্য অনুসৰি ধৰা হ'ল, p এটা মৌলিক সংখ্যা যদি p য়ে a² ক ভাগ কৰে, তেন্তে p য়ে a ক ভাগ কৰিব য'ত a এটা যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা।
5 য়ে pক ভাগ কৰে।
ধৰা হ'ল, কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা m ৰ বাবে p = 5m তেন্তে
5 য়ে q² ক ভাগ কৰে।
5 য়ে q ক ভাগ কৰে। [উপপাদ্য অনুসৰি]
গতিকে, p আৰু q উভয়ৰে উমৈহতীয়া উৎপাদক হিচাপে 5 আছে।
p আৰু q সহমৌলিক বুলি কৰা ধাৰণাটোৰ ই বিৰোধিতা কৰিছে। √5 পৰিমেয় বুলি পোষণ কৰা আমাৰ অসত্য ধাৰণাৰ বাবে এই বিৰোধিতাৰ তাৱতাৰণা হৈছে।
গতিকে, আমি সিদ্ধান্তত উপনীত হ'লো যে √5 অপৰিমেয়।
প্ৰমাণিতসমাধান: বিৰুদ্ধভাৱে ধৰা হ'ল, 3 + 2√5 পৰিমেয়।
তেনে ক্ষেত্রত p আৰু q (q ≠ 0) সহমৌলিক দুটা পাব পাৰো যাতে
যিহেতু p আৰু q অখণ্ড সংখ্যা, (p - 3q) / 2q পৰিমেয়, গতিকে √5 পৰিমেয়।
কিন্তু ইয়ে ' √5 অপৰিমেয়' এই সত্যতাৰ বিৰোধিতা কৰে। 3 + 2√5 পৰিমেয় বুলি পোষণ কৰা আমাৰ অসত্য ধাৰণাৰ বাবে এই বিৰোধিতাৰ অৱতাৰণা হৈছে।
গতিকে, আমি সিদ্ধান্তত উপনীত হ'লো যে 3 + 2√5 অপৰিমেয়।
প্ৰমাণিতসমাধান: বিৰুদ্ধভাৱে ধৰা হ'ল, 1 / √2 এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
তেনে ক্ষেত্ৰত p আৰু q (q ≠ 0) সহমৌলিক অখণ্ড সংখ্যা যাতে
যিহেতু p আৰু q অখণ্ড সংখ্যা, 2p / q পৰিমেয়, সেয়ে √2 পৰিমেয়।
কিন্তু ইয়ে ' √2 অপৰিমেয়' এই সত্যতাৰ বিৰোধিতা কৰে। 1 / √2 পৰিমেয় বুলি পোষণ কৰা আমাৰ অসত্য ধাৰণাৰ বাবে এই বিৰোধিতাৰ অৱতাৰণা হৈছে।
গতিকে, আমি সিদ্ধান্তত উপনীত হ'লো যে 1 / √2 অপৰিমেয়।
প্ৰমাণিতসমাধান: বিৰুদ্ধভাৱে ধৰা হ'ল, 7√5 পৰিমেয়।
তেনেক্ষেত্ৰত p আৰু q (q ≠ 0) সহমৌলিক অখণ্ডসংখ্যা যাতে
যিহেতু p আৰু q অখণ্ড সংখ্যা, p / 7q পৰিমেয়, গতিকে √5 পৰিমেয়।
কিন্তু ইয়ে ' √5 অপৰিমেয়' এই সত্যতাৰ বিৰোধিতা কৰে। 7√5 পৰিমেয় বুলি পোষণ কৰা আমাৰ অসত্য ধাৰণাৰ বাবে এই বিৰোধিতাৰ অৱতাৰণা হৈছে।
গতিকে, আমি সিদ্ধান্তত উপনীত হ'লো যে 7√5 অপৰিমেয়।
প্ৰমাণিতসমাধান: বিৰুদ্ধভাৱে ধৰা হ'ল, 6 + √2 পৰিমেয়।
তেনে ক্ষেত্ৰত p আৰু q (q ≠ 0) সহমৌলিক অখণ্ডসংখ্যা যাতে
যিহেতু p আৰু q অখণ্ড সংখ্যা, (p - 6q) / q পৰিমেয়, গতিকে √2 পৰিমেয়।
কিন্তু ইয়ে ' √2 অপৰিমেয়' এই সত্যতাৰ বিৰোধিতা কৰে। 6 + √2 পৰিমেয় বুলি পোষণ কৰা আমাৰ অসত্য ধাৰণাৰ বাবে এই বিৰোধিতাৰ অৱতাৰণা হৈছে।
গতিকে, আমি সিদ্ধান্তত উপনীত হ'লো যে 6 + √2 অপৰিমেয়।
প্ৰমাণিতসমাধান: বিৰুদ্ধভাৱে ধৰা হ'ল, √5 পৰিমেয়।
তেনে ক্ষেত্ৰত p আৰু q (q ≠ 0) সহমৌলিক দুটা পাব পাৰো যাতে
5 য়ে p² ক ভাগ কৰে।
উপপাদ্য অনুসৰি ধৰা হ'ল, p এটা মৌলিক সংখ্যা যদি p য়ে a² ক ভাগ কৰে, তেন্তে p য়ে a ক ভাগ কৰিব য'ত a এটা যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা।
5 য়ে pক ভাগ কৰে।
ধৰা হ'ল, কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা m ৰ বাবে p = 5m তেন্তে
5 য়ে q² ক ভাগ কৰে।
5 য়ে q ক ভাগ কৰে। [উপপাদ্য অনুসৰি]
গতিকে, p আৰু q উভয়ৰে উমৈহতীয়া উৎপাদক হিচাপে 5 আছে।
p আৰু q সহমৌলিক বুলি কৰা ধাৰণাটোৰ ই বিৰোধিতা কৰিছে। √5 পৰিমেয় বুলি পোষণ কৰা আমাৰ অসত্য ধাৰণাৰ বাবে এই বিৰোধিতাৰ তাৱতাৰণা হৈছে।
গতিকে, আমি সিদ্ধান্তত উপনীত হ'লো যে √5 অপৰিমেয়।
প্ৰমাণিতসমাধান: বিৰুদ্ধভাৱে ধৰা হ'ল, 3 + 2√5 পৰিমেয়।
তেনে ক্ষেত্রত p আৰু q (q ≠ 0) সহমৌলিক দুটা পাব পাৰো যাতে
যিহেতু p আৰু q অখণ্ড সংখ্যা, (p - 3q) / 2q পৰিমেয়, গতিকে √5 পৰিমেয়।
কিন্তু ইয়ে ' √5 অপৰিমেয়' এই সত্যতাৰ বিৰোধিতা কৰে। 3 + 2√5 পৰিমেয় বুলি পোষণ কৰা আমাৰ অসত্য ধাৰণাৰ বাবে এই বিৰোধিতাৰ অৱতাৰণা হৈছে।
গতিকে, আমি সিদ্ধান্তত উপনীত হ'লো যে 3 + 2√5 অপৰিমেয়।
প্ৰমাণিতসমাধান: বিৰুদ্ধভাৱে ধৰা হ'ল, 1 / √2 এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
তেনে ক্ষেত্ৰত p আৰু q (q ≠ 0) সহমৌলিক অখণ্ড সংখ্যা যাতে
যিহেতু p আৰু q অখণ্ড সংখ্যা, 2p / q পৰিমেয়, সেয়ে √2 পৰিমেয়।
কিন্তু ইয়ে ' √2 অপৰিমেয়' এই সত্যতাৰ বিৰোধিতা কৰে। 1 / √2 পৰিমেয় বুলি পোষণ কৰা আমাৰ অসত্য ধাৰণাৰ বাবে এই বিৰোধিতাৰ অৱতাৰণা হৈছে।
গতিকে, আমি সিদ্ধান্তত উপনীত হ'লো যে 1 / √2 অপৰিমেয়।
প্ৰমাণিতসমাধান: বিৰুদ্ধভাৱে ধৰা হ'ল, 7√5 পৰিমেয়।
তেনেক্ষেত্ৰত p আৰু q (q ≠ 0) সহমৌলিক অখণ্ডসংখ্যা যাতে
যিহেতু p আৰু q অখণ্ড সংখ্যা, p / 7q পৰিমেয়, গতিকে √5 পৰিমেয়।
কিন্তু ইয়ে ' √5 অপৰিমেয়' এই সত্যতাৰ বিৰোধিতা কৰে। 7√5 পৰিমেয় বুলি পোষণ কৰা আমাৰ অসত্য ধাৰণাৰ বাবে এই বিৰোধিতাৰ অৱতাৰণা হৈছে।
গতিকে, আমি সিদ্ধান্তত উপনীত হ'লো যে 7√5 অপৰিমেয়।
প্ৰমাণিতসমাধান: বিৰুদ্ধভাৱে ধৰা হ'ল, 6 + √2 পৰিমেয়।
তেনে ক্ষেত্ৰত p আৰু q (q ≠ 0) সহমৌলিক অখণ্ডসংখ্যা যাতে
যিহেতু p আৰু q অখণ্ড সংখ্যা, (p - 6q) / q পৰিমেয়, গতিকে √2 পৰিমেয়।
কিন্তু ইয়ে ' √2 অপৰিমেয়' এই সত্যতাৰ বিৰোধিতা কৰে। 6 + √2 পৰিমেয় বুলি পোষণ কৰা আমাৰ অসত্য ধাৰণাৰ বাবে এই বিৰোধিতাৰ অৱতাৰণা হৈছে।
গতিকে, আমি সিদ্ধান্তত উপনীত হ'লো যে 6 + √2 অপৰিমেয়।
প্ৰমাণিত